Geum.ru
Темы диссертаций по экономике » Математические и инструментальные методы экономики

Двойственность в дробно-линейном программировании и ее приложения тема диссертации по экономике, полный текст автореферата

Ученая степень кандидат физико-математических наук
Автор Баялинов, Эрик Бакишевич
Место защиты Фрунзе
Год 1984
Шифр ВАК РФ 08.00.13
Диссертация

Диссертация: содержание автор диссертационного исследования: кандидат физико-математических наук , Баялинов, Эрик Бакишевич

ВВЕДЕНИЕ

Глава I ЗАДАЧА ДРОБНО-ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

з I. Постановка и основная экономическая интерпретация задачи дробно-линейного программирования . II

з 2. Основные определения и теоремы дробно-линейного программирования

Глава 2 ДВОЙСТВЕННОСТЬ В ДРОБНО-ЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ

з I. Построение двойственной задачи

з 2. Основные теоремы двойственности

з 3. Исследование влияния изменений условий задачи дробно

Х линейного программирования на оптимум целевой функции

з 4. Интерпретация двойственных переменных дробно-линейного программирования как экономических оценок ресурсов и продукции в планово-экономических задачах

РАЗРАБОТКА АГОРИТМОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДРОБНО-ЛИНЕЙНОГО - ПРОГРАММИРОВАНИЯ

з I. О втором агоритме метода последовательного улучшения плана.

з 2. О методе последовательного уточнения оценок

з 3. Метод последовательного сокращения невязок

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАЗРАБОТАННЫХ АГОРИТМОВ ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ ОПТИМАЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ ТЕРРИТОРИАЛЬНО-ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ

- КОМПЛЕКСОВ

з I. Моделирование формирования и развития территориальнопроизводственных комплексов . 94

з 2. К проблеме выбора наилучшего варианта комплексного использования ресурсов Иссык-Кульской области и районов Чуйской долины Киргизской ССР

Диссертация: введение по экономике, на тему "Двойственность в дробно-линейном программировании и ее приложения"

Планирование производства, управление системами и проектирование техники на основе экстремальных принципов экономит время, ресурсы и труд, повышает качество решения экономических и технических задач.

Теоретические основы и методы решения задач планирования, управления и проектирования разрабатываются в сравнительно новой математической дисциплине, получившей название математического программирования. За последние 15-20 лет возник и начал формироваться новый раздел этой дисциплины - дробно-линейное программирование (ДП), ставшее необходимым инструментом при решении многих оптимизационных задач с удельными показателями качества.

Появление и развитие теории ДП обусловлено необходимостью системного подхода к анализу функционирования социалистической экономики. Так, обратимся за примером к отраслевому планированию. Отраслевое планирование - это та область, в которой в течение последнего десятилетия интенсивно развиваются теоретические исследования и оптимизационные расчеты, связанные с применением экономико-математических методов и вычислительной техники. Тем не менее, многие отрасли, в частности сезонные производства, связанные с переработкой сельскохозяйственного сырья, остаются до сих пор слабо разработанными как в теоретическом, так и в практическом отношении. Это объясняется спецификой сезонных производств. При планировании и управлении сезонного производства возникает проблема согласования и оптимизации работы сельскохозяйственной отрасли, выращивающей и поставляющей сырье, автомобильного и железнодорожного транспорта, перевозящего сырье, и пищевой промышленности, перерабатывающей его. К тол^у же,- обычно, в сезонных производствах объем производства конечной продукции нельзя фиксировать, гак как он сам является искомой величиной. Поэтому в сезонных производствах наряду с абсолютными критериями оптимальности типа "максимум прибыли", "максимум объема конечной продукции" целесообразно применять удельные критерии оптимальности типа "минимум удельной себестоимости продукции",, "минимум удельных приведенных затрат", "максимум уровня рентабельности".

Также и в перспективном планировании для многих отраслей производства недостаточен критерий "минимум приведенных затрат" при заданном объеме конечной продукции. Действительно, при такой постановке задач из расчета выпадают те варианты плана, в которых сравнительно небольшое приращение приведенных затрат дает сравнительно большое приращение конечной продукции.

О важности применения удельных экономических показателей в планировании промышленности говорится в "Основных направлениях экономического и социального развития СССР на 1981-1985 годы и на период до 1990 года": "Считать увеличение производства и повышение качества товаров для населения первостепенной задачей всех отраслей промышленности, всех предприятий и организаций, предметом особой заботы всех партийных, советских и хозяйственных органов.

Для решения этих задач: . повысить рентабельность, снизить себестоимость промышленной продукции".

Именно с позиций удельных экономических показателей позволяет теория ДП подходить к проблеме оптимизации функционирования народного хозяйства, его отраслей и предприятий.

Первые статьи, посвященные рассмотрению задач дробно-линейного программирования и разработке методов их решения, появились в начале 60-х годов. В 1960 году была опубликована работа [7б], в которой ее автор - рассмотрел задачу "гиперболического программирования" и показал, что для решения этой задачи может быть использован "слегка модифицированный" симплексный метод. Работа [7б] положила начало развитию нового раздела математического программирования, получившего в середине 60-х годов название дробно-линейного программирования. Вслед за этой статьей в 1962 году появилась работа СклапевА и СоореаШЩ^ЪЪ], в которой был предложен метод решения задачи ДП с ограниченной областью допустимых планов. Метод обеспечивает получение решения путем решения одной задачи линейного программирования (П). Эта задача формируется в результате добавления одной переменной и одного ограничения. В том же 1962 году Ъоак(/.в.в [59] доказал, что любой локальный минимум задачи ДЛИ является в то же время глобальным, и указал способ нахождения решения задачи путем решения серии соответствующих линейных задач. При использовании метода Л&иЬеЗЛ'№аитМ[м\ решение задачи ДП заменяется решением последовательности линейных задач с исходными ограничениями, но с разными целевыми функциями.

Названные работы обозначили три основных подхода к решению задач дробно-линейного программирования:

- обобщение методов линейного программирования на случай дробнолинейной целевой функции [51, [гз], [24] , [25], [2б], [30] , [76]. $ *

- сведение исходной задачи путем нелинейной замены переменных к задаче П [20] ,[21] .[22],[54].

- декомпозиционные методы [б], [7], [8], [9], [10], [II], [31], [34], [Зб] , [38] , [43], [44], [45] ,[46], [50] , [51] , [53], [57], [58], [59], [61] , [71], [77], [80] , [81], [82], [83] , [85] , [86], [88], [94], [95] .

Следует отметить, что для решения специальных задач ДП, имеющих фиксированную структуру ограничений (транспортная задача, распределительная задача, задача блочного ДП и т.п.) наиболее предпочтительным является первый подход, так как использование двух других приводит к изменению системы ограничений исходной задачи, а это значительно затрудняет или вообще делает невозможным использование специальных агоритмов, учитывающих специфику ограничений.

Первая отечественная работа [зо], в которой рассмотрена заг дача дробно-линейного программирования и предложен метод ее решения, принадлежит Шварцману А.П. Эта работа увидела свет в 1965 году.

Полученные в вышеупомянутых и других работах результаты по теории дробно-линейного программирования были позднее обобщены и во многом развиты в монографии Чернова Ю.П. и Ланге Э.Г. [2б]. В [в] рассмотрены методы решения непосредственно задачи ДП и других задач нелинейного программирования с дробной целевой функцией без сведения их к задаче линейного программирования или к другим соответствующим задачам математического программирования. Наоборот, линейное, выпуклое, вогнутое и параметрическое линейное программирование рассмотрены в [2б] как частные случаи дробно-линейного, дробно-выпуклого, дробно-вогнутого и параметрического дробно-линейного программирования соответственно.

Перечисленные и другие работы по ДП быстро получили широкую известность и породили многочисленные исследования в этой области. Среди многих работ, внесших весомый вклад в дело разработки эффективных методов решения как общих, так и специальных задач дробно-линейного программирования и дробного программирования вообще следует в первую очередь отметить [б] ,[ю], [II], [20], [21], [22], [31], [36] , [4-3] , [Щ , [52], [54], [57] , [58], [60 ], [бб], 71], [80] , [81], [82], [83], [86], [88].

Развитие дробно-линейного программирования шло и идет, естественно, не только по пути разработки вычислительных методов. Ведь численное решение любой экстремальной задачи дожно базироваться на соответствующем математическом аппарате. Таким аппара

Хсом (гак же, как, в частности, и в линейном программировании) стала в дробно-линейном программировании теория двойственности, согласно которой данной экстремальной задаче ставится в соответствие тесно связанная с ней двойственная задача.

Первой работой, посвященной теории двойственности в дробном программировании, является статья 1x4] советского математика Гольштейна Е.Г. В этой статье автор описал общую схему формирования двойственных задач для функциональных аналогов задач выпуклого и дробно-выпуклого программирования и сформулировал ряд утверждений, составляющих основу теории двойственности для этих задач. Предложенная в [14] схема составления двойственной задачи имеет аналитический характер и обобщает подход, изложенный в [12], для конечномерных задач выпуклого программирования. Результаты работы [14] были впоследствии развиты в [Х5\ и [17]. Указанные работы Гольштейна Е.Г. определили одно из направлений в исследовании вопроса о двойственности в дробном программировании, которое характеризуется использованием терминов, связанных с задачей об отыскании седловой точки дробной функции Лаграшса. Реализация этого направления, как будет показано ниже, может дать весьма полезные в теоретическом и практическом отношении результаты.

Первая зарубежная работа [91] по теории двойственности в дробно-линейном программировании появилась почти одновременно с [14], а именно в 1967 году. Автор ее, индийский мвтвыаятВмаАирК, показал, что теоремы'двойственности, сформулированные и доказанные (см., напр., [65], [72] ,[95] и др.) для задач нелинейного программирования, могут быть распространены на случай, когда целевая функция экстремальной задачи имеет дробно-линейный вид и достигает своего оптимума в конечной точке допустимого множества. При построении двойственной задачи Лиуо^ассрК^ апелировал к функции Лагранжа, имеющей обычную (не дробную) структуру. Используемая в

911 формулировка двойственной задачи имеет несколько схематичный характер и не очень удобна для практических применений. Вероятно именно поэтому данная формулировка двойственной задачи дробно-линейного программирования не получила широкого распространения.

Качественно иной подход к вопросу о двойственности в дробно-линейном программировании предложен в работе [55], авторы -й&Ш/ъЗ. и Ь. - которой показали, что для частного случая задачи

ДП двойственная к ней может быть сформулирована также в виде задачи дробно-линейного программирования, В [48], [49][62],[68], [78] ,[79] ,[87] ,[91] ,[92] аналогичная (имеющая дробный вид) формулировка двойственной задачи получена для других частных случаев задачи ДП.

Наибольшее распространение получил другой подход, при котором исходная задача ДП с помощью нелинейной замены переменных преобразуется в линейную задачу [39], [40]-[45], [53], [55], [бб], [67],[74],[75],[80]-[85]. Это объясняется тем, что такой подход к рассмотрению задачи дробно-линейного программирования позволяет пользоваться хорошо разработанным аппаратом линейного программирования. Однако при этом теряется один из важнейших результатов теории двойственности - практический смысл двойственных оценок.

Настоящая работа также посвящена двойственности в дробно-линейном программировании и ее приложениям. Целью работы является:

1. реализация общей идеи [14] (использование дробной функции Ла-гранжа) для случая задачи ДП;

2. использование результатов пункта I при разработке теоретических основ агоритмов решения задач ДП и при проведении экономических исследований.

Работа состоит из четырех глав.

Диссертация: заключение по теме "Математические и инструментальные методы экономики", Баялинов, Эрик Бакишевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Настоящая работа посвящена исследованию одного из центральных пунктов дробно-линейного программирования - теории двойственности, согласно которой данной экстремальной задаче ставится в соответствие тесно связанная с ней двойственная задача. Совместное рассмотрение обеих задач оказалось полезным как при разработке теоретических основ численных методов решения задачи ДП, так и при проведении качественного анализа задачи и ее оптимального плана.

В результате предварительных исследований свойств задачи ДП известная (см.,напр.,[зз]) теорема о разрешимости задачи линейного программирования обобщена на случай задачи дробно-линейного программирования. В основной части работы (гл.2) для задачи ДП сформулирована двойственная к ней задача, доказаны основные утверждения теории двойственности и определены условия, при которых исходная задача дробно-линейного программирования имеет по крайней мере один оптимальный план с конечными компонентами. Сформулирована задача линейного программирования, как двойственная к двойственной, по сути являющаяся линейным аналогом задачи ДП. Доказаны утверждения, устанавливающие связь между двумя задачами и. их планами. В качестве приложения теории двойственности к разработке вычислительных методов теоретические основы трех известных по линейному программированию методов обобщены на случай решения задачи ДП. Исследовано влияние изменений вектора правых частей ограничений на оптимум целевой функции и выведено соответствующее аналитическое выражение. Показано, что для задач ДП экономического содержания компоненты оптимального плана двойственной задачи могут быть интерпретированы как экономические оценки ресурсов и продукции, объемы потребления и производства которых ограничены условиями задачи. Предложена схема ( Я -схема) возможного использования полученных в работе теоретических результатов при решении народнохозяйственных проблем, приводящих к задачам дробно-линейного программирования.

Практическая ценность настоящей работы в основном определяется ее прикладным характером: разработанный здесь математический аппарат позволяет подходить к решению проблемы оптимизации производственной деятельности некоторого экономического объекта с позиций удельных экономических показателей,

В настоящее время вышеупомянутая Ц -схема применяется в Институте экономики и экономико-математических методов планирования Госплана Киргизской ССР при проведении исследований, связанных с формированием и развитием Иссыккульско-Чуйского территориально-производственного комплекса.

Диссертация: библиография по экономике, кандидат физико-математических наук , Баялинов, Эрик Бакишевич, Фрунзе

1. Арутюнян Ю.В. Об одной задаче оптимизации топливно-энергетического баланса. Ереван, 1966.

2. Баялинов Э.Б. К вопросу о двойственности в дробно-линейном программировании. Изв.АН Кирг.ССР, 1981, №2.

3. Баялинов Э.Б. О влиянии изменений условий задачи дробно-линейного программирования на оптимум целевой функции. В сб.: Применение экономико-математических методов в совершенствовании управления народным хозяйством. Фрунзе: Илим, 1982.

4. Баялинов Э.Б. Об экономическом смысле двойственных переменных дробно-линейного программирования. Экономика и математические методы, в печати.

5. Белых В.М., Гавурин М.К. Агоритм минимизации дробно-линейной функции. Вестник ГУ, 1980, №19.

6. Верина Л.Ф. Параметрическая декомпозиция одного класса задач дробного программирования. Тезисы Всесоюзного семинара "Математическое обеспечение АСУП", Москва-Горький, 1975.

7. Верина Л.Ф., Танаев B.C. Декомпозиционные подходы к решению задач математического программирования. Обзор. Экономика и математические методы, 1975, т.II, №6.

8. Верина Л.Ф. О решении некоторых классов задач дробного программирования. Численные методы нелинейного программирования. Тезисы П Всесоюзного семинара. Харьков, 1976.

9. Верина Л.Ф. Агоритм параметрической декомпозиции для одного класса задач дробного программирования. Изв.АН БССР, серия физ.-мат.н., 1976, Ш

10. Ю. Верина Л.Ф. Решение задачи дробного квадратично-линейного программирования. Б-ка программ решения экстремальных задач. Минск, 1979, №2.

11. Гавурин М.К. Дробно-линейное программирование на неограничен' ном множестве. Вестник ГУ, 1982, №19.

12. Гольштейн Е.Г. Двойственные задачи выпуклого программирования. Экономика и математические методы, 1965, т.1, вып.З.

13. Гольштейн Е.Г., Юдин Д.Б. Новые направления в линейном программировании. Советское радио, 1966.

14. Гольштейн Е.Г. Двойственные задачи выпуклого и дробно-выпуклого программирования в функциональных пространствах. ДАН СССР, 1967, 172, №5.

15. Гольштейн Е.Г. Двойственные задачи выпуклого и дробно-выпуклого программирования. В сб.: Исследования по математическому программированию. Наука, 1968.

16. Гольштейн Е.Г. Выпуклое программирование. Элементы теории. М.; Наука, 1970.

17. Гольштейн Е.Г. Теория двойственности в математическом программировании и ее приложения* М.: Наука, 1971.г

18. Лэсдон Л.С. Оптимизация больших систем, м.:-Наука, 1975.

19. Овсепян А.М., Марукова Э.П. Некоторые вопросы оптимизации топливно-энергетического баланса. Ереван, 1966.

20. Соломон Д.И. Об одном методе решения задач дробно-линейного программирования с матрицами блочно-диагональной структуры. Изв.АН Мод.ССР, серия физ.-мат.и техн.наук, 1979, №3.

21. Соломон Д.И. Применение метода обобщенного градиентного спуока при решении задач дробно-линейного программирования. Изв.АН Мод.ССР, серия физ.-мат.и техн.наук, 1983, №1.

22. Соломон Д.И. Об одной задаче целочисленного дробно-линейного программирования. Математические исследования. Кишинев, 1983, №72.

23. Чернов Ю.П. Некоторые задачи параметрического дробно-линейного программирования. В сб.: Оптимальное управление, вып.16, Новосибирск: Наука, 1970.

24. Чернов Ю.П., Ланге Э.Г. Транспортная задача дробного программирования. В сб.: Оптимальное управление, вып.16. Новосибирск: Наука, 1970.

25. Чернов Ю.П. Об одной задаче параметрического дробно-линейного программирования. Изв.АН Кирг.ССР, 1970, №3.

26. Чернов Ю.П., Ланге Э.Г. Задачи нелинейного программирования с удельными экономическими показателями. Фрунзе: Илим, 1978.

27. Чернов Ю.П., Баялинов Э.Б. О линейном аналоге задачи дробно-линейного программирования. В сб.: Математическое моделирование народнохозяйственных процессов. Фрунзе: Илим, 1981.

28. Чернов Ю.П., Баялинов Э.Б. О двойственной задаче дробно-линейного программирования. В сб.: Математическое моделирование народнохозяйственных процессов. Фрунзе: Илим, 1981.

29. Шварцман А.П. Об одном агоритме дробно-линейного программирования. Экономика и математические методы, 1965, т.1, вып.4.

30. Шепилов М.А. О методах решения дробных задач математического программирования. Кибернетика, 1980, №1.

31. Юдин Д.Б., Гольштейн Е.Г. Линейное программирование (теория и конечные методы). М.: физматгиз, 1963.

32. Юдин Д.Б., Гольштейн Е.Г. Линейное программирование (теория, методы и приложения). М.: Наука, 1969.

33. Дё&оСье И<2/773 ДС. апоС- /г?еМос& оп, сСесо/7?/ро1бсо/г. /^есе/г^ ас/ста псе* к. уча^бежл^са 1. ЖеиГ-Уо^ Мо виси/-И4963.

34. Jtf$&4Utfb S.P. StaJ><f /soUon, W /v&tfr /eacona pRsOg&am/nntf pfu>e/x. %ЙММ> /Ж

35. S. P. PaJlLfr>ec кеал> /actocn-ti /c/ic>na pfiflpawning. //^ ^^ /2.

36. S. P. >/-/ie^ socoion- o <z- /zeae* -/aac

37. Л (band P. ажЖ /y?e><?ds i/г dec>/>?/>&-3Lon> -foz, леал. ffcaco/La Sud. Sc.1. Hмк we. s,

38. Jbdtvs/ M. is.; %ut/r/ UP У. J7i& dcca n, м/ь&леая, pfsO^RA/nmH^ Lfid is ecJbИ?/r7c пе>&/>яе.ta.tion. .efe<f >f ecc/v/Kc studies, XXX V(3).

39. С.Р/. QcaJkf /г- fa&cie/aric indefinite

40. C.&. P&yf&am/rjcng f/to&&ws urtA- со/ытех. /яаг-onaS fccsioio/LS. Ofe-j&zions esea&cA,; </#6% S, rfd.

41. Beciog, С.Я. (dcc&foty и, suvzs&tieae, foac&o/w ZfUimrnintf. Zesc/bfc-f tye&a-ziiens /eesea&cA^

42. StUUb в. Maf^CLniL T.L tf&zc-tiP/uzf&SffWn/ntnf: ' iduosZityj M(^o/JbmsJ Se/2scr^ J?/>/)cation.s. Tzch-tbicaC efo&; rf2. ^esecmcA

43. AJasscu^/tcose-tts <$nt. о/ТеоАлей?^ РУЩУкяе.44. jBi/UUv G.P.j JlCagruZnii TU. fflcoci&fy se^si<ry cbtvticfsis -fo/t /aci&/7a ffMffOpe&a,on.s /ее-secuto^ ^ №

44. JbL/Um, Q.Py.j A/ornes Ж G. <inea&cl- -f/icictio/uz o^eci/e /su>tio/,. Of>e/zio/?s -ZeaJlck-, J973; vsg. У/46. сю/ик/^е^S.P.j Ряеу S.O. xr/z.hm>^e*ie>ts O^e-^lio/is fceseo-tc^ i/oe.47* C/uzdAa S.S. /&zco/ui fc/zcn?g

45. ЯАМ uftk, l iu &$ec7f<re~ .1. MM, vo. 5<f.

46. С/шбС/ьа, S.S. J? dua? faaoiio/z-atZ /п. Z/1MM, yoe. 6/.

47. CA,adA& S.S. lAemzws Д>/ .and- fka#0/ia f&o^/M/r?. >n>sr?>eP-- /voiematcty ogz,^ -/?^ ^

48. Okadka. S.S., S/lLc/Ou& S. ss/>fe c?ss >f1. ZiMM, </$73; sog. S3.

49. Ch&otka S.S. S/tttf/ou&c S. /busne&<z,tye ecArufrue tz/ь- eoj^e/7?e jDon^ fjzactn.?g

50. S&u&ng >f />e-U<pns /zese&cA, -/MQ i/o&tf, //4.

51. Ckln/li S., C/uzn/uimoA?/i /И. mp/Wt/e aa/tc/t and /v-eAca'g /г?ceее/ Sirteaz. f/zae-6onaef/boj&ti/vs. Z/jMMj л/JO.53. /J Cocfea MC № Pacjf&a/nminf "tttfunctionate. Afai/ag &s. Icff. с/og. ff,

52. Ch-frLgtoi/ (S. P/tefe-ie? ancC /r?e/tc?c -f&fc Sgyin^ fflac-nag e>f/nz&i/z &ofgews. de/t/ra^*/ ъг. JSZZj //d.55. g-^/en . .jM&nscC . J7ve ccta of л. -gnea./t fac

53. ЪсоукхС- /Uff&a/r). &f /??<z/?. a/?agys$ as?t/if/ic

54. C^dfe^u .id.j JUo/zd- . Л rwe- ejb cac/ j^ gen&eus: f&cff/za/n/nS/ff. //afag es. leg. QuaM.j 497-в; wog. 26, M.

55. Z-Mfe>e-&, &ne<z&e</z' /cncl^e^ csveo, /zea&est, /tee/?

56. Z Sc-k^/&f- f<& Ш^Л/А-зо/ъ&си cA/tes-kzo&ie cont i/e&n/6L/ze Ge.ee /962;

57. Qm/vcn. /lfi/ifi^e-/?7e/z Sce/?ceJ S3.

58. Юо&п, МУ.& iCitteafr -f&tz&fco/itfgр&с^/гл/плоСп^. dSAf-УоиЛ; J H2. ; /oveMgexi.60. 6clr, /-.С., Swa&cop 6. JTie use cocuis к- f&ac1. Z/fMM j xs<?e. rfd.

59. Gtmo&e PC., Gomo&tf Д j? /геал ffrcff/w/nmi/tf. <fff>pRsoa.clv i o 6/^e. cusHin^ stock

60. Gul Tf. fOtta&ty fabo-Mtbrf-ii#feetUa& f&ac-tCenaZ p-Off/zam. С а. А. Ce/*. iucC. яеасА. S вi,

61. QccptoL Z.P. S impfe cass of pafca/n&&Lc &/iea& fazcwag

62. QccpL &.P.J Siv&frap & -Sto/iasicficow? fu/7c6>/?4 pfU>g/iaM/77(/7g. Ope&oso/is OseaecA;65. /-/и a/o /? p&ff/vs. &ece/i,<t a/as?<:ИS waif.66. faga/)л а. Лап Cfo s/??e- p&ope&tes e>f

63. JfoC&in F n, /яаейот?p&of/M/vni/tf. ' MAiaZ /les. bof Quaw., </$72; i/oe. </.3.

64. JUa-zi^asa fU&n, O.k.fnseSti, Mc/iimax, a/id dua&f и. /то*-nea&. p&ogfUimmi/ij. Cfunafef/Uatt. naPJp/., ///б^об.//

65. Manfltiscucirt, 0A /Уеъ&'пеа & f/zaconagfif. . У&атв of peaosis /шеа&сА Society ofjapan, S363; i/o //.

66. Mafrfos. fype&tfoc pfuy/M/nm/ty P<gЛ/a/i. /twf. Дсас/ет^ <rfSuelees, V> sec. </36 .77. flwos &. СГАе ейяея/p*fe&> >f acfyace/zi?n?eAods. A/sza^e/ке/гn?Sce#ce, /<966; /^ MS.

67. JCond C/Ult/еиг .id. n>e vz. s*7a>i//?es77tz?ca>- Ait fif Kfiik f/iactonctS ofyeaUue. //g es.ho<j. Qua ni.; roe. 2.0.

68. Zesc7if/f f&- Ope&ZsiC/b ле^еляс^ /$77, i/o. 7>.

69. J. ffrotf&aM/v/s?^: 2. <0/t

70. Pnk&Cack's atyo&isv. Ji//iagewe/dSc/e/ice; /У/б, rcИ2.

71. У n faof/w/n/ni/?^: /Usu'-fec pffroac/i. />e&a>cn /zesea&cA, 2^ /73.

72. SC C.Mj Jefe&sotv Tfc. ^zactMaDA-P^/W/^ jftS/2jZe<UL SCCt&fy; /МО; 62-fj //V.

73. Ses/utn, C.&. On, tt> TUxeag, /ka&i&fza'

74. Pfc&c. ^/ьсСса^ Jcaafe/vj' Sc^eJ Л/сг^А^

75. S/uv&ma d.C. <3&co/?s app&oac/c o /.ac

76. C^CCL), /d?, i/>e. 7.

77. Sn/a&up 7. /t Cua&fy n*-f&acma? /c/zccostaZescA&/

78. StcLhC j! Hd-tbffads сgfagghti-dcU&t o/e&m/iozcifya'f.Jg^ S^/va, /$22, /6, /74.

79. Swafrcop -/хеа/г- /&ao>/ia /u/zo7>s??gs тйи^ 0/>e#,Qs&/7S &ese<z&c/t~; </$66; yo?. 73^ /76.90. Sn/a&up rtk91л Swa&zop tC. Some a-spe^ts о/f/№Coti<?92. Sto/L&tcp J, к, .

80. Sh/afUcp te. n f>w#/ve>eas *t <z /7ea& <f&A<y6o/ta& -functional/>&oe/y7>. Me/UAJ ^>e. /3.

81. Wag/ie/t MAf.j Усса*г J.S.C Jfyo<ktr?c efcora^e/?ce1. Science*, у об. У^95. l//o/& /? /} cCccaci^ k&&esv /e ^n-^nea,^1. УТВЕРЖДАЮ '

82. Институт физики и математики АН Киргизской ССРзав.лабораторией, к.ф.-м.н. Б.Г.Ланге-Сам**^ ст.инженер лаборатории Ь. Б. Баяли нов

83. Институт экономики и экономико-математических методов планирования Госплана Киргизской ССРзав.отделом, к.э.н, К.С.Сыдыков

Похожие диссертации