Оптимизация по быстродействию и по расходу электроэнергии
Дипломная работа - Компьютеры, программирование
Другие дипломы по предмету Компьютеры, программирование
тносительно первой производной:
(1.3)
Если f1, f2 … fn - линейные функции, то стационарная система переменных состояний примет вид:
,(1.4)
гдеaij, bil - постоянные коэффициенты.
Уравнения выхода будут иметь следующий вид:
(1.5)
В матричной форме системы (1.4) и (1.5) будут выглядеть следующим образом:
(1.6)
Объект управления описывается дифференциальным уравнением вида
(1.7)
Это значит, что описываемая этим уравнением система относится к линейным системам с одним управляющим входом и одним выходом, передаточная функция которой содержит лишь полюса. В этом случае переменные состояния вводятся таким образом, чтобы быть равными выходной координате y и ее производным вплоть до (n-1) включительно (в данном случае порядок уравнения второй):
(1.8)
Теперь из дифференциального уравнения (1.7), которым описывается объект управления, старшую производную можно выразить при помощи переменных состояния {xi}:
(1.9)
Продифференцировав левые и правые части уравнений системы (1.8) по t и учитывая (1.9), можно получить систему уравнений состояния в нормальной форме:
(1.10)
Уравнение выхода будет иметь вид:
(1.11)
Если выразить систему уравнений состояния (1.10) и уравнение выхода (1.11) в матричной форме, представленной в виде (1.6), то в результате получим систему вида
(1.12)
1.2 Общая методика и решение задач оптимального быстродействия
Теория оптимальных систем вначале развивалась как теория систем, оптимальных по быстродействию. Оптимальные по быстродействию системы стали первоочередным объектом исследования из-за их практической важности и поэтому сейчас они исследованы наиболее полно.
Задачи оптимального управления - это вариационные задачи. Но классическое вариационное исчисление имеет ряд недостатков. Во-первых, искомая функция, описывающая управляющее воздействие, должна относиться к классу непрерывных, в то время как в практических задачах управляющие функции часто носят релейный или другой кусочно-непрерывный характер. Во-вторых, координаты объекта также могут как быть ограниченными, так и иметь разрывы, что обязательно нарушит требование непрерывности функции. В-третьих, для некоторых функционалов не удается составить уравнение Эйлера, в то время как точно известно, что решение оптимальной задачи существует.
В 50-х годах 20 века академиком Понтрягиным был предложен новый метод решения задач оптимального управления, названный принципом максимума. Этот метод, являясь дальнейшим развитием вариационного исчисления, в большинстве случаев оказывается наиболее удобным для решения практических задач оптимизации.
Задачу оптимизации по быстродействию можно в общем случае сформулировать следующим образом. Пусть в n-мерном фазовом пространстве заданы точки и . Среди всех допустимых управляющих воздействий , которые переводят систему из положения в положение нужно найти такое, которое минимизирует функционал , а значит обеспечивает переход системы в новое состояние за минимальное время. Для этого вводят дополнительную координату
(1.13)
В результате система (1.3) приобретет размерность n +1 и будет иметь вид
(1.14)
В принципе максимума используются вспомогательные переменные состояния ?0, ?1… ?n. Функция, которая объединяет вспомогательные переменные {?i} и систему (1.14) называется функцией Гамильтона. Общий вид функции таков:
(1.15)
Система уравнений, отражающая при помощи функции Гамильтона зависимость переменных состояния {xi} и вспомогательных переменных состояния {?i}, будет выглядеть следующим образом:
(1.16)
Пусть уравнение объекта управления имеет вид:
(1.17)
По формуле (1.15) составим гамильтониан
(1.18)
Согласно принципу максимума управление будет оптимальным, если функция становится максимальной, то есть
.
Поскольку находится максимум гамильтониана относительно управления , то достаточно максимизировать только те слагаемые, в которые оно входит:
.
На практике управляющее воздействие всегда ограничено величиной
(1.19)
Ясно, что с учетом (1.19) оптимальное управление будет обеспечено при условии максимальных знакопериодичных воздействий
(1.20)
Искомое, оптимальное по быстродействию, управление оказывается кусочно-непрерывным.
Так как объект управления описывается дифференциальным уравнением
,
то функция Гамильтона указанного объекта управления примет вид
Из условия максимума функции Н вдоль оптимальной траектории находим оптимальное управление
Как видно, оптимальное по быстродействию управление оказывается кусочно-непрерывным, как это показано на рис. 1.1 . Функция на своем протяжении имеет разрывы первого рода в точках, где превращается в ноль. Эти точки называются моментами переключения и между ними (время между соседними точками переключения будем называть интервалами управляющего воздействия или интервалами управления) оптимальное управление должно поддерживаться на своем граничном максимальном уровне. Основной задачей оптимального уп