Оптимальність у системах керування
Информация - Компьютеры, программирование
Другие материалы по предмету Компьютеры, программирование
оптимальність у системах керування
1. Умови оптимальності у неавтономних системах керування
У загальному випадку неавтономної системи права частина закону руху й підінтегральна функція цільового функціонала залежать явно від часу , тобто закон руху має вигляд:
, (1)
а цільовий функціонал дорівнює
. (2)
Тут функції і неперервні по сукупності змінних і неперервно диференційовані по змінних , , .
Також вважатимемо, що момент часу , який відповідає початковому стану , відомий, а момент часу проходження через кінцеву точку не заданий і повинен бути знайдений, тобто сформульована задача це задача з вільним часом.
Поставлена задача може бути зведена до автономної задачі введенням додаткової змінної . До закону руху при цьому додається рівняння
,
а до початкових умов співвідношення .
Тепер систему (2) можна переписати у вигляді:
(3)
а функціонал дорівнюватиме
, (4)
де (відповідно до доданого у початкову систему рівняння).
Отже, неавтономну -вимірну задачу було зведено до автономної задачі з розширеним фазовим простором. У новій задачі потрібно знайти оптимальну траєкторію, що поєднує точку розширеного фазового простору з деякою точкою на прямій, яка проходить через точку паралельно осі . Оскільки кінцеве значення змінної невідоме, то нова задача це задача з фіксованим лівим і рухомим правим кінцями.
Якщо в задачі оптимального керування (3) (4) відомі і початковий момент часу й кінцевий момент часу , то задача називається задачею з фіксованим часом. Перетворення цієї задачі введенням додаткового змінного приводить до задачі з фіксованими кінцями в такому формулюванні. Потрібно знайти керування , що переводить фазову точку системи (2) зі стану в момент часу у стан в момент часу , причому функціонал (4) набуває найменшого значення. Зауважимо, що момент часу попадання в точку можна не вважати фіксованим, оскільки в силу тотожності попадання в точку може відбутися тільки в цей момент часу. Таким чином, до даної задачі можна застосувати теорему, відповідно до якої для одержання необхідних умов екстремуму функціонала необхідно максимізувати функцію Понтрягіна
, (5)
де загальний вигляд функції Понтрягіна з теореми 1, у якій не врахована додаткова, ()-ша змінна. Спряжена система для цієї задачі за умов набуває вигляду:
(6)
Має місце така теорема.
Припустимо, , оптимальний процес для задачі з фіксованим часом. Тоді існує ненульова вектор-функція , що відповідає цьому процесу, така що:
1. Для будь-якого функція змінної набуває максимального значення в точці , тобто:
: .
2. , .
Оскільки, як і раніше, , то умову 2 цієї теореми достатньо перевірити в якій-небудь одній точці відрізка .
Розглянемо випадок, коли при фіксованому правий кінець вільний. Ця задача полягає в тому, щоб із заданого стану за заданий час пройти по траєкторії з довільним кінцевим станом за умови мінімізації цільового функціонала. Умови трансверсальності для цієї задачі набувають вигляду:
, . (7)
Для цього випадку необхідна умова оптимальності полягає в тому, щоб функція досягала максимального значення для кожного на оптимальному керуванні і мала місце умова (7).
2 Поняття особливого керування
На практиці часто зустрічаються задачі оптимального керування, у яких функція Понтрягіна лінійно залежить від всіх керувань або від частини з них (наприклад, в лінійних задачах оптимальної швидкодії). Однак у нелінійних задачах оптимального керування (якщо функція Понтрягіна є нелінійною по одній або декількох фазових змінних) можлива ситуація, коли на оптимальній траєкторії коефіцієнт при одній з компонент вектора керування обертається на нуль всюди на деякому інтервалі часу, і тоді умова максимуму функції за не дозволяє однозначно визначити оптимальне керування. Ця ситуація називається особливим режимом керування. Дослідимо її детальніше.
Розглянемо автономну задачу оптимального керування
,
Де ; , , , ,
довільна множина з ;
лінійний простір кусково-неперервних на функцій.
Крайові умови задачі мають вигляд:
, .
Потрібно знайти таке припустиме керування , що переводить систему зі стану у стан , причому відповідний припустимий процес доставляє мінімальне значення функціоналу
,
де функції , неперервні по сукупності всіх змінних і неперервно-диференційовані по змінних .
Вважатимемо, що функція Понтрягіна для цієї задачі є лінійною за частиною компонент вектора . Виділимо із цих компонент групу з керувань (з тих, за якими функція лінійна) і позначимо їх через , а інші керувань зберемо у вектор (він також може включати компоненти, за якими функція лінійна). За таких умов закон руху набуває вигляду:
,
де .
Складемо функцію Понтрягіна для даної задачі:
.
Очевидно, що
, . (8)
Припустимо, що процес разом з розвязком спряженої системи
, , (9)
задовольняє принципу максимуму і, крім того, припустимо, що у всіх точках деякого інтервалу має місце рівність
, (10)
або, враховуючи (10),
, , . (11)
&nbs