Анализ и синтез автоматической системы регулирования электропривода углового перемещения
Курсовой проект - Компьютеры, программирование
Другие курсовые по предмету Компьютеры, программирование
? положительный или пара комплексно сопряженных корней имеет положительную вещественную часть, является неустойчивой.
Случай, когда хотя бы один из вещественных корней нулевой или пара комплексно сопряженных корней имеет нулевую вещественную часть, является граничным, т.е. система находится на границе устойчивости.
Корни уравнений выше четверной степени не выражаются аналитически, их можно найти только приближенно. Поэтому возникает необходимость судить об устойчивости системы непосредственно по коэффициентам характеристического уравнения замкнутой системы. Поэтому в ТАУ разработаны критерии устойчивости.
Критерии устойчивости - это правила, позволяющие анализировать устойчивость без решения характеристического уравнения. Критерии позволяют относительно просто установить причину неустойчивости, если такова обнаружена. На практике широко используются следующие критерии устойчивости:
-Алгебраический критерий устойчивости Рауса-Гурвица.
-Частотный критерий Найквиста.
-Частотный критерий устойчивости Михайлова.
4.1.1 Анализ устойчивости с использованием алгебраического критерия устойчивости
Этот критерий был разработан немецким математиком Гурвицем в 1895 г. Гурвиц нашел условия, при которых многочлен любой степени не содержит корней с положительной вещественной частью.
Исходными данными для критерия устойчивости Гурвица являются коэффициенты характеристического полинома замкнутой системы. Условия в критерии задаются в виде неравенств, которые составлены по особым правилам из коэффициентов характеристического замкнутой системы.
Главный определитель Гурвица строится следующим образом: по главной диагонали с левого верхнего угла выписываются все коэффициенты характеристического полинома, начиная с . По столбцам вверх индексы возрастают, а вниз - убывают.
Критерий Гурвица формулируется следующим образом: для того чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица имели знаки, одинаковые со знаком первого характеристического уравнения замкнутой системы .
Применим алгебраический критерий Гурвица для замкнутой нескорректированной системы. Для этого в пакете MatLab найдем ее детерминант (функция det). Затем, последовательно уменьшая размер матрицы, найдем значения всех диагональных детерминантов.
Посчитаем передаточную функция разомкнутой системы
Расчёт в пакете MatLab:
>> wrazsis=wup*we*wm*wredfunction:
0.1673
-----------------------------------------
.003763 s^4 + 0.09328 s^3 + 0.658 s^2 + s
Передаточная функция замкнутой системы
Построение характеристического полинома замкнутой системы и нахождение определителей:
>> A=[0.09328 1 0 0; 0.003763 0.658 0.1673 0; 0 0.09328 1 0; 0 0.003763 0.658 0.1673]=
0.0933 1.0000 0 0
0.0038 0.6580 0.1673 0
0 0.0933 1.0000 0
0 0.0038 0.6580 0.1673
>> det(A)=
0.0094
>> A1=A(1:2,1:2)=
0.0933 1.0000
0.0038 0.6580
>> det(A1)=
0.0576
>> A2=A(1:3,1:3)=
0.0933 1.0000 0
0.0038 0.6580 0.1673
0 0.0933 1.0000
>> det(A2)=
0.0562
Как видно, все определители >0. Замкнутая нескорректированная система устойчива.
4.1.2 Анализ устойчивости с использованием частотного критерия Найквиста
Критерий устойчивости Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по поведению АФЧХ разомкнутой системы.
Размыкание системы принципиально может осуществляться в любом месте. Однако при исследовании устойчивости системы удобнее размыкать ее по цепи главной обратной связи.
Для применения критерия Найквиста система уравнений приводится к следующему виду.
- передаточная функция разомкнутой системы (прямой ветви).
Если разомкнутая система устойчива, то замкнутая система устойчива, если АФЧХ разомкнутой системы не охватывает критическую точку с координатами .
Для построения АФЧХ достаточно вызвать команду nyquist:
>> nyquist(w4)
На рис. 4.1.2.1 приведена АФЧХ разомкнутой системы (объекта регулирования).
Рис. 4.1.2.1 АФЧХ разомкнутой системы
Замкнутая система устойчива, так как АФЧХ разомкнутой системы не охватывает критическую точку с координатами .
4.1.3 Определение запасов устойчивости системы по модулю и по фазе
Для нормального функционирования любая система регулирования должна быть достаточно удалена от границы устойчивости. О запасе устойчивости можно судить по расположению корней характеристического полинома замкнутой системы. Чем дальше отстают корни этого полинома от мнимой оси, тем больше запас устойчивости.
Критерии устойчивости также позволяют определить запасы устойчивости. В практике наиболее широко используют определение запаса устойчивости на основании частотного критерия Найквиста. Оценивают удаление АФЧХ от критической точки (-1, j0). Запасы устойчивости системы регулирования оценивают двумя показателями: запас устойчивости по фазе и по модулю.
Используя ЛАЧХ и ЛФЧХ, можно оценить запасы устойчивости системы по амплитуде и по фазе с помощью команды
>> margin(w4)
Соответствующий график показан на рис. 4.1.3.1.
Рис. 4.1.3.1 Определение запасов устойчивости по амплитуде и по фазе
Замкнутая минимально-фазовая система устойчива, если при достижении ЛФЧХ значения - ? ЛАЧХ будет отрицательной. Следовательно, нескорректи?/p>