Обратимые матрицы над кольцом целых чисел
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
?пределитель которых
равен 1 384.
Следовательно, из 4096 квадратных матриц второго порядка над Z8 обратимыми являются 1536.
Обратимые матрицы над Z9
*012345678000000000010123456782024681357303603603640483726155051627384606306306370753186428087654321Всего различных матриц второго порядка над Z9: 94=6561.
В Z9 обратимыми элементами являются 1, 2, 4, 5, 7 и 8.
1. ad=8. Возможно 6 случаев.
bc=7. Возможно 6 случаев.
Получили с данным условием 36 обратимых матриц.
2. ad=7. Возможно 6 случаев.
bc=6. Возможно 12 случаев.
Получили с данным условием 72 обратимых матриц.
3. ad=6. Возможно 12 случаев.
bc=5. Возможно 6 случаев.
Получили с данным условием 72 обратимых матриц.
4. ad=5. Возможно 6 случаев.
bc=4. Возможно 6 случаев.
Получили с данным условием 36 обратимых матриц.
5. ad=4. Возможно 6 случаев.
bc=3. Возможно 12 случаев.
Получили с данным условием 72 обратимых матриц.
6. ad=3. Возможно 12 случаев.
bc=2. Возможно 6 случаев.
Получили с данным условием 72 обратимых матриц.
7. ad=2. Возможно 6 случаев.
bc=1. Возможно 6 случаев.
Получили с данным условием 36 обратимых матриц.
8. ad=1. Возможно 6 случаев.
bc=0. Возможно 21 случай.
Получили с данным условием 126 обратимых матриц.
9. ad=0. Возможно 21 случай.
bc=8. Возможно 6 случаев.
Получили с данным условием 126 обратимых матриц.
Таким образом, обратимых матриц, определитель которых равен 1 -648.
Следовательно, из 6561 квадратных матриц второго порядка над Z9 обратимыми являются 3888.
Обратимые матрицы над Z10
*012345678900000000000101234567892024680246830369258147404826048265050505050560628406284707418529638086420864290987654321Всего различных матриц второго порядка над Z10: 104=1000.
В Z10 обратимыми элементами являются 1, 3, 7 и 9.
1. ad=9. Возможно 4 случая.
bc=8. Возможно 12 случаев.
Получили с данным условием 48 обратимых матриц.
2. ad=8. Возможно 12 случаев.
bc=7. Возможно 4 случая.
Получили с данным условием 48 обратимых матриц.
3. ad=7. Возможно 4 случая.
bc=6. Возможно 12 случаев.
Получили с данным условием 48 обратимых матриц.
4. ad=6. Возможно 12 случаев.
bc=5. Возможно 9 случаев.
Получили с данным условием 108 обратимых матриц.
5. ad=5. Возможно 9 случаев.
bc=4. Возможно 12 случаев.
Получили с данным условием 108 обратимых матриц.
6. ad=4. Возможно 12 случаев.
bc=3. Возможно 4 случая.
Получили с данным условием 48 обратимых матриц.
7. ad=3. Возможно 4 случая.
bc=2. Возможно 12 случаев.
Получили с данным условием 48 обратимых матриц.
8. ad=2. Возможно 12 случаев.
bc=1. Возможно 4 случая.
Получили с данным условием 48 обратимых матриц.
9. ad=1. Возможно 4 случая.
bc=0. Возможно 27 случаев.
Получили с данным условием 108 обратимых матриц.
10. ad=0. Возможно 27 случаев.
bc=9. Возможно 4 случая.
Получили с данным условием 108 обратимых матриц.
Таким образом, обратимых матриц, определитель которых
равен 1 720.
Следовательно, из 10000 квадратных матриц второго порядка над Z10 обратимыми являются 2880.
Используя выше изложенный метод, было также вычислено количество обратимых матриц для колец вычетов по модулям:10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21. В результате всех вычислений были получены следующие данные (ниже также использованы формулы полученные в 2):
Znформулаколичество2(p-1)2p(p+1)63(p-1)2p(p+1)484-965(p-1)2p(p+1)4806-2887(p-1)2p(p+1)20168-15369-388810-288011(p-1)2p(p+1)1320012-460813(p-1)2p(p+1)2620814-1209615-2304016-2457617(p-1)2p(p+1)7833618-2332819(p-1)2p(p+1)12312020-4352021-96768В итоге анализа полученных результатов эмпирическим путем была получена следующая формула для вычисления количества обратимых матриц второго порядка над кольцом вычетов по произвольному модулю.
Пусть Zn -кольцо вычетов по модулю n, причем n=p1k1p2k2…pmkm ,
Тогда количество обратимых матриц второго порядка равно:
(p1-1)2(p2-1)2…(pm-1)2p1p2…pm(p1+1)(p2+1)…(pm+1)(p14)k1-1(p24)k2-1…(pm4)km-1
Литература
- Бухштаб А.А. Теория чисел. М.: Просвещение, 1966.
- Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. М.: Высшая школа, 1979.
- Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1975.