Geum.ru

Обратимые матрицы над кольцом целых чисел

Дипломная работа - Педагогика

Другие дипломы по предмету Педагогика

я выведения формулы подсчета количества обратимых матриц, можем получить частные формулы для матриц произвольных порядков.

Например:

Для матриц порядка 4:

(р-1)4р6(р+1)(р2+р+1)(р3+р2+р+1).

Для матриц порядка 5:

(р-1)5р10(р+1)(р2+р+1)(р3+р2+р+1)( р4+р3+р2+р+1), и т.д.

Анализируя полученные результаты, можем сделать выводы, что общая формула для получения количества обратимых матриц порядка n над полем Zp выглядит так:

Данную формулу тождественными преобразованиями можно привести к виду:

 

3. Обратимые матрицы над кольцом Zn

 

Из теоремы доказанной в 1 следует, что для определителей матриц A и B выполняется равенство |AB|=|A||B|.

Для обратимых матриц A и B следует AB=E.Следовательно |AB|=|A||B|=|E|=1.

Таким образом, получаем: определитель обратимой матрицы является обратимым элементом.

Попытаемся сосчитать количество обратимых матриц над некоторыми кольцами вычетов по составному модулю.

 

Обратимые матрицы над Z4.

*012300000101232020230321Всего различных матриц второго порядка над Z4: 44=256.

В Z4 обратимыми элементами являются 1и3. Рассмотрим сколько обратимых матриц с определителем равным 1: |A|=ad-bc=1.

Разобьем на следующие варианты:

1. ad=3. Возможные случаи:

  1. a=1 d=3,
  2. a=3 d=1,

bc=2. Возможные случаи:

  1. b=1 c=2,
  2. b=2 c=1,
  3. b=2 c=3,
  4. b=3 c=2.

Получили с данным условием 8 обратимых матриц.

2. ad=2. Возможно 4 случая (см. предыдущий пункт).

bc=1. Возможные случаи:

  1. b=c=1,
  2. b=c=3.

Получили с данным условием 8 обратимых матриц.

3. ad=1. Возможно 2 случая (см. предыдущий пункт).

bc=0. Возможные случаи:

  1. b=0 c=1,
  2. b=0 c=2,
  3. b=0 c=3,
  4. b=1 c=0,
  5. b=2 c=0,
  6. b=3 c=0,
  7. b=c=0,
  8. b=c=2.

Получили сданным условием 16 обратимых матриц.

4. ad=0. Возможно 8 случаев (см. предыдущий пункт).

bc=3. Возможно 2 случая (см. первый пункт).

Получили с данным условием 16 обратимых матриц.

Таким образом, по данной классификации получаем 8+8+16+16+16=48 обратимых матриц, определитель которых равен 1. Аналогичную классификацию можно составить для обратимых матриц с определителем равным 3, и число таких матриц будет также равно 48.

Следовательно, из 256 квадратных матриц второго порядка над Z4 обратимыми являются 96.

 

Обратимые матрицы над Z6.

*012345000000010123452024024303030340420425054321Всего различных матриц второго порядка над Z6: 64=1296.

В Z6 обратимыми элементами являются 1 и 5. Аналогично рассмотрим, сколько обратимых матриц с определителем равным 1:
|A|=ad-bc=1.

Разобьем на следующие варианты:

1. ad=5. Возможные случаи:

  1. a=1 d=5,
  2. a=5 d=1,

bc=4. Возможные случаи:

  1. b=1 c=4,
  2. b=4 c=1,
  3. b=2 c=5,
  4. b=5 c=2,
  5. b=c=2,
  6. b=c=4.

Получили с данным условием 12 обратимых матриц.

2. ad=4. Возможно 6 случаев (см. предыдущий пункт).

bc=3. Возможные случаи:

  1. b=3 c=1,
  2. b=1 c=3,
  3. b=3 c=5,
  4. b=5 c=3,
  5. b=c=3.

Получили с данным условием 30 обратимых матриц.

3. ad=3. Возможно 5 случаев (см. предыдущий пункт).

bc=2. Возможные случаи:

  1. b=2 c=1,
  2. b=1 c=2,
  3. b=2 c=4,
  4. b=4 c=2,
  5. b=4 c=5,
  6. b=5 c=4.

Получили с данным условием 30 обратимых матриц.

4. ad=2. Возможно 6 случаев (см. предыдущий пункт).

bc=1. Возможные случаи:

  1. b=c=1,
  2. b=c=5.

Получили с данным условием 12 обратимых матриц.

5. ad=1. Возможно 2 случая (см. предыдущий пункт).

bc=0. Возможные случаи:

  1. b=0 c=1,
  2. b=0 c=2,
  3. b=0 c=3,
  4. b=0 c=4,
  5. b=0 c=5,
  6. b=1 c=0,
  7. b=2 c=0,
  8. b=3 c=0,
  9. b=4 c=0,
  10. b=5 c=0,
  11. b=2 c=3,
  12. b=3 c=2,
  13. b=3 c=4,
  14. b=4 c=3,
  15. b=c=0.

Получили с данным условием 30 обратимых матриц.

6. ad=0. Возможно 15 случаев (см. предыдущий пункт).

bc=5. Возможно 2 случая (см. первый пункт).

Получили с данным условием 30 обратимых матриц.

Таким образом по данной классификации получаем 12+30+30+12+30+30=144 обратимых матриц, определитель которых
равен 1. Аналогичную классификацию можно составить для обратимых матриц с определителем равным 5, и число таких матриц будет также равно 144.

Следовательно, из 1296 квадратных матриц второго порядка над Z6 обратимыми являются 288.

Обратимые матрицы над Z8

*01234567000000000101234567202460246303634725404040404505274163606420642707654321Всего различных матриц второго порядка над Z8: 84=4096.

В Z8 обратимыми элементами являются 1, 3, 5 и 7. Аналогично рассмотрим, сколько обратимых матриц с определителем равным 1
|A|=ad-bc=1.

Аналогично предыдущим пунктам будем придерживаться той же классификации:

1. ad=7. Возможно 4 случая.

bc=6. Возможно 8 случаев.

Получили с данным условием 32 обратимых матрицы.

2. ad=6. Возможно 8 случаев.

bc=5. Возможно 4 случая.

Получили с данным условием 32 обратимых матрицы.

3. ad=5. Возможно 4 случая.

bc=4. Возможно 12 случаев.

Получили с данным условием 48 обратимых матриц.

4. ad=4. Возможно 12 случаев.

bc=3. Возможно 4 случая.

Получили с данным условием 48 обратимых матриц.

5. ad=3. Возможно 4 случая.

bc=2. Возможно 8 случаев.

Получили с данным условием 32 обратимых матрицы.

6. ad=2. Возможно 8 случаев.

bc=1. Возможно 4 случая.

Получили с данным условием 32 обратимых матрицы.

7. ad=1. Возможны 4 случая .

bc=0. Возможно 20 случаев.

Получили с данным условием 80 обратимых матриц.

8. ad=0. Возможно 20 случаев.

bc=7. Возможно 4 случая.

Получили с данным условием 80 обратимых матриц.

Таким образом, обратимых матриц, ?/p>