Geum.ru

*-Алгебры и их применение

Дипломная работа - Математика и статистика

Другие дипломы по предмету Математика и статистика

?ся скалярное произведение в L.

(f1 f2 , g1 g2 ) = (f1 g1)(f2 g2) (3.10.)

f1, g1Н1; f2, g2 Н2,

а затем распространяется на другие элементы из факторизованного L билинейным образом.

 

3.2. Тензорные произведения операторов. Определим тензорное произведение ограниченных операторов.

Теорема 3.1. Пусть , - две последовательности гильбер-
товых пространств, - последовательность операторов АкL(Нк, Gк). Определим тензорное произведение А1 …Аn = Ак формулой

() f = () = (3.11.)

(f ).

Утверждается, что ряд в правой части (3.11.) сходится слабо в и определяет оператор L (, ), причем

|| || = || || (3.12.)

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай n=2, так как в силу равенства Н1,…, Нn = (Н1,…, Нn-1)Нn общий случай получается по индукции.

Пусть - некоторый ортонормированный базис в Gк (к = 1, 2) и пусть g = G1 G2. В качестве f возьмем вектор из Н1 Н2 с конечным числом отличных от нуля координат f?.

Зафиксируем ?2, ?1 Z+ и обозначим через f(?2) Н1 вектор f(?2) = и через g(?1)G2 вектор g(?1) =. Получим

= =

= ? =

= ? =

=

Из этого неравенства следует слабая сходимость в G1G2 ряда уже при произвольном c Н1Н2 и оценка его нормы в G1G2 сверху через ||A1|| ||A2|| ||f||. Таким образом, оператор A1 A2: Н1 Н2 >G1G2 определен посредством (3.11.) корректно, ограничен и его норма не превосходит ||A1|| ||A2||.

Из (3.5.) и (3.11.) следует

||(A1 A2) (f1 f2)|| = ||A1 f1|| ||A2 f2|| (fк Нк , к = 1, 2)

Подбирая должным образом орты f1, f2 последнее произведение можно сделать сколь угодно близким к ||A1|| ||A2||, поэтому неравенство ||(A1 A2)|| ? ||A1|| ||A2|| не может выполняться, то есть (3.12.) при n=2 доказано.

Из (3.11.) получаем для Ак L(Hк, Gк), Вк L(Hк, Gк) (к = 1,…, n) соотношения

(Вк) (Ак) = (Вк Ак) (3.13.)

(Ак)* = Ак* (3.14)

(Ак) (f1 … fn) = A1 f1… An fn (3.15.)

(fк Hк; к = 1,…, n)

(3.15) однозначно определяет оператор Ак.

Приведем пример. Пусть Hк = L2((0,1), d (mк)) = L2

Действительно, вектору вида (3.1.) поставим в соответствие функцию L2. Такие функции образуют ортонормированный базис пространства L2, поэтому такое соответствие порождает требуемый изоморфизм между и L2.

Глава II. Задача о двух ортопроекторах

1. Два ортопроектора в унитарном пространстве

  1. Постановка задачи. Пусть дана *-алгебра P2

P2 = С

порожденная двумя проекторами, то есть двумя идемпотентными самосопряженными элементами.

Положим u = 2p1 1, v = 2p2 1, тогда u, v самосопряженные элементы.

u2 = (2p1 1)2 = 4p1 4p1 + 1 = 1, v2 = 1. Таким образом u, v унитарные самосопряженные элементы.

Тогда *-алгебру P2 можно задать иначе:

P2 = С

Это групповая *-алгебра, порожденная двумя унитарными самосопряженными элементами.

Требуется найти все неприводимые представления *-алгебры P2 , с точностью до унитарной эквивалентности.

 

1.2. Одномерные *-представления *-алгебры P2 . Пусть ?: P2 >L(H) - *-представление *-алгебры P2 . Рассмотрим сначала случай, когда dim H = 1, то есть dim ? = 1.

P2 = С

Обозначим через Рк = ?(рк), к = 1,2. Поскольку рк2= рк* = рк (к = 1, 2) и ? - *-представление, то Рк2 = Рк* = Рк (к =1, 2) ортопроекторы в Н на подпространстве Нк = {yH | Рк y = y } к = 1, 2.

Возможны следующие случаи:

  1. Н1 = Н2 = {0}; тогда Р1 = 0, Р2 = 0.
  2. Н1 = Н (то есть dim H1 =1), Н2 = {0}, тогда Р1 = 1, Р2 = 0.
  3. Н1 = {0}, Н2 = Н (то есть dim H2 =1), тогда Р1 = 0, Р2 = 1.
  4. Н1 = Н2 = Н (dim H1 = dim H2 =1), тогда Р1 = 1, Р2 = 1.

Так как dim H =1, то мы можем получить 4 одномерных неприводимых *-представлений P2, причем они неэквивалентны.

 

1.3. Двумерные *-представления *-алгебры P2 . Обозначим через Нк область значений оператора Рк при к = 1,2.