*-Алгебры и их применение
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
а разложение Н =
Н?к такое что ?к>?к+1 и ?к>?к+1 .
Пусть представления ?? в L2(Т, ?) и ?? в L2(Т, ?) эквивалентны. Пусть v:L2(Т, ?) >L2(Т, ?) устанавливающий их эквивалентность изоморфизм. Положим f=1, а=v(f), тогда для любой непрерывной функции g на Т v(g)=v??(g)f = ?? (g)vf = ?? (g)a = ga. Так как v изометрическое отображение, то d?=|a|2d?. Таким образом мера ? абсолютно непрерывна по мере ?. Аналогично, рассматривая обратный оператор, получаем, что ? абсолютно непрерывна по ?, то есть эти меры эквивалентны. Значит существует разложение Н? = (С2L2(Т, ?к)), где ?1>?2>… и соответствующие этим мерам представления неприводимы и неэквивалентны. Это доказывает равенство (2.4.). Тогда из (2.4.) следуют формулы:
P1 = P1,0 P1,1 ((Iк ))
Р2 = P0,1 P1,1 (Iк ))
Iк единичный оператор в L2((0, ), d?к).
Теорема 2.4. (спектральная теорема в форме разложения единицы). Паре ортопроекторов Р1 и Р2 в сепарабельном гильбертовом пространстве Н соответствует разложение
Н = Н0,0Н0,1Н1,0 Н1,1 С2Н(?)dЕ(?) (2.7.)
в прямой интеграл инвариантных относительно Р1, Р2 подпространств и определенное на Т = (0, ) разложение dЕ(?) единичного оператора I+=E(0, ) в Н+ =С2Н(?)dЕ(?), такое что имеет место равенство
P1 = P1,0 P1,1 I+ (2.8.)
Р2 = P0,1 P1,1 dЕ(?) (2.9.)
Доказательство. Всякий самосопряженный оператор А, действующий в Н, изометрически изоморфен оператору умножения на независимую переменную в пространстве L2(R, d?к), где ?к зависит от разложения единицы оператора А. Тогда доказательство спектральной теоремы в форме разложения единицы следует непосредственно из спектральной теоремы в форме операторов умножения.
Глава III. Спектр суммы двух ортопроекторов
1. Спектр суммы двух ортопроекторов в унитарном пространстве
1.1. Спектр ортопроектора в гильбертовом пространстве.
Теорема 1.1. Пусть Н гильбертово пространство. Если Р ортопроектор, то (Р) = р (Р) = {0, 1}, где р (Р) точечный спектр при условии, что Р ? 0 и Р ? I.
Доказательство. Рассмотрим выражение Рх - ?х = y, х, y Н, ? С. Тогда (1 - ?) Рх = Рy . Если ? ? 1, то Рх = Рy. Если х ? 1, то х = (Рy - y), тогда (Р) = {0, 1}.
Так как Р ? 0 и Р ? I, то существует х ? 0 такой, что Рх ? 0. Тогда Р(Рх) = Рх, то есть 1р (Р). Существует y ? 0: (I - Р)y ? 0, тогда Р(I - Р)y = 0 = 0 (I - Р)y, то есть 0 р (Р). Итак, (Р) = р (Р) = {0, 1}.
1.2. Постановка задачи. Пусть заданы два ортопроектора Р1 и Р2 в унитарном пространстве Н. Тогда мы знаем спектр каждого из них. Найдем спектр суммы Р1 + Р2 в неприводимых представлениях.
1.3. Спектр в одномерном пространстве. Пусть dimH =1. Пусть, как и выше, Нк область значений оператора Рк к = 1,2. Обозначим через А = Р1 + Р2 и найдем (А).
1) Р1 = Р2 = 0, то для любого х Н Ах = 0 или Ах = 0 х, то есть 0 (А).
2) Р1 = 0, Р2 = I, то для любого х Н2 = Н Ах = х, то есть 1 (А).
3) Р1 = I, Р2 = 0, то для любого х Н1 = Н Ах = х.
4) Р1 = Р2 = I, то для любого х Н1 = Н2 = Н Ах = Р1х + Р2х = 2х, то есть 2 (А).
Таким образом, если dimH =1, то (А) {0, 1, 2}.
1.4. Спектр в двумерном пространстве. Пусть dimH =2. Сохраним обозначения (1.1.) Главы II.
1) х Н0,0 , тогда Ах = 0 и 0 (А).
2) х Н0,1 или х Н1,0 , тогда Ах = х и 1 (А).
3) х Н1,1, тогда Ах = 2х, то есть 2 (А).
Если существуют i, j= 0,1 такие, что Нi,j ? {0}, то существуют k,l = 0,1 такие, что Нi,j Нk,l = H. В этом случае (А) {0, 1, 2}.
Пусть теперь Нk,l = {0} для любых k,l = 0,1. Допустим, что существует одномерное инвариантное подпространство L относительно Р1 и Р2, тогда АLL. Пусть х L, тогда Рkх = ?кх (k = 1, 2 ). Так как Рk ортопроектор, то возможны случаи:
- ?1 = 0, ?2 = 0;
- ?1 = 0, ?2 = 1;
- ?1 = 1, ?2 = 0;
- ?1 = 1, ?2 = 1;
Но это означает, что k,l = 0,1 такие, что Нk,l ? {0} вопреки предположению. Тогда пара Р1, Р2 неприводима. Значит мы можем записать матрицы операторов Р1 и Р2 в некотором ортонормированном базисе, согласно теореме 1.1. главы II.
Р1 = , Р2 ? (0, 1)
Найдем спектр линейной комбинации ортопроекторов aР1 + bР2, a и b С. Для этого решим характеристическое уравнение det(aР1 + bР2 ?I) = 0.
(1.1.)
Тогда , (1.2)
Положим a = 1, b =1, ? = , тогда ?1 = 1+? , ?2 = 1-? и 0<?<1 (поскольку 0<?<1.
Тогда (А) {0, 1, 2}{1+? , 1-?}. Причем собственные значения 1+? и 1-? входят в спектр А одновременно.
1.5. Спектр в n-мерном пространстве. Пусть dimH =n. Если Н =КL, где К, L инвариантные подпространства относительно оператора А, то для любого х Н существует единственное разложение x = k +l, k K, l L. Пусть ? (А), тогда Ах = ?х =?k +?l;, следовательно, если пространство Н разложено в ортогональную сумму инвариантных подпространств, то спектр оператора А можно найти как объединение спектров сужений оператора А на соответствующие инвариантные подпростра?/p>