Альтернативные системы аксиом
Методическое пособие - Философия
Другие методички по предмету Философия
?ых аксиом ввести 2 аксиомы:
(AP1): "x (x = x)
(AP2): (x = y) (A(x) A(y))
при любом предикате А, то полученная теория наз. теорией 1-го порядка с равенством.
Рассмотрим МП 1-го порядка с равенством. {Это т. н. аксиоматика Пеано}
Добавим в алфавит символ const 0 - "ноль", функциональный символ ' - "штрих"
x' - это (х + 1),
и произвольный набор функциональных символов (+, *) (ф-й), и добавляем аксиомы:
1)x = y (y = z x = z)
2) (x' = 0)
)x = y x' = y'3') x' = y' x = y
)x + 0 = x
)x + y' (x + y)'
)x * 0 = 0
)x * y' = x * y + x
)
для любого предиката А выполнимо:
9)[A(0) & ("x (A(x) A(x')))] A(x), A(0) - базис индукции, ("x (A(x) A(x'))) - индуктивный шаг.
Эта аксиома определяет метод математической индукции.
Арифметика - основа всей математики. Она вкл. в любой раздел математики.
Теорема Гёделя о полноте:
Любая формальная аксиоматическая теория, вкл-я в себя формальную арифметику неполна, т. е. в ней есть содержательно истинные утв-я, недоказуемые в рамках этой теории.
Следствие:
1)любую теорию, содержащую арифметику, нельзя пополнить так, чтобы получившаяся система была полна относительно общезначимых формул.
2)такая аксиоматическая теория неразрешима.
)непротиворечивость формальной арифметики нельзя установить, пользуясь средствами самой арифметики.
Предварённая нормальная форма
Определение 3.68. Формула называется предварённой нормальной формой, если она имеет вид
x1Q2x2. . .QkxkA, (3.28)
где Qi? {?, ?}, а формула A не содержит кванторов. Заметим, что для предварённой нормальной формы выполняется условие разделённости переменных.
Теорема 3.69. Для любой формулы существует эквивалентная ей предварённая нормальная форма.
Доказательство теоремы 3.69 использует индукцию по построению формулы. Для индуктивного шага нам потребуется набор пар эквивалентных формул, который обеспечивается следующей леммой.
Лемма 3.70. Пусть A, B - формулы исчисления предикатов, причём B не содержит переменной x.
Тогда следующие пары формул эквивалентны
|?xAи? x-|A, -|?xAи? x-|A,>?xAи? x(B>A), ?xA>Bи? x(A>B),>?xAи? x(B>A), ?xA>Bи? x(A>B).
Доказательство. Эквивалентность первых двух пар формул сразу следует из эквивалентности формул A и -|-|A, так как -|?xA является сокращением для -|-|? x-|A,
а ? x-|A - сокращением для-|? x-|-|A.
Для доказательства остальных эквивалентностей рассмотрим некоторую интерпретацию с областью M.
Зафиксируем значения всех параметров формул A иB кроме x. Тогда B приобретает определённое истинностное значение.
Используем тавтологии
>x ? 1, 1>x ? x, x>0 ?-|x, x>1 ? 1.
Эквивалентность левых двух пар формул становится очевидной. Совпадение значений правых пар формул при B = 1 также очевидно. Остаётся проверить совпадение значений пары формул
-|?xAи? x-|A, -|?xA
и ? x-|A.
Это уже было сделано выше.