Альтернативные системы аксиом
Методическое пособие - Философия
Другие методички по предмету Философия
? данный факт, уже как взаимодействие отношения или свойства некоторой сущности. Это отношение принято записывать в префиксной форме, т.е. указывать имя, после которого в скобках следуют те или иные сущности, находящиеся в данном отношении. Рассмотрим несколько предложений:
Лена и Таня сестры.
В море корабли.
Кот отобрал еду у Ковалева.
Снег белый.
Мальчик отправил брату письмо.
По правилам ИП эти предложения можно записать следующим образом:
Сестры (Лена, Таня)
В (море, корабли)
Отобрал еду (кот, Ковалев)
Белый (снег)
Отправил (мальчик, брат, письмо)
Как видно, можно выделять разнообразные отношения, например, родства, пространственные отношения, описывать действия между субъектом и объектом, описывать свойства. При этом аргументы предиката не следует менять местами.
То, что перед скобками - предикатный символ, то, что стоит в скобках - термы. Каждый терм занимает свою позицию, предикатные символы могут быть предлогами, существительными, глаголами и т.д. Терм, как правило - существительное ну или нечто, что его заменяет. Все вместе - предикатная форма.
По количеству термов выделяют одноместные предикаты, двуместные и многоместные. Предикатную форму так же называют атомом. Термы так же могу иметь разнообразный вид, в первом примере оба терма обозначены конкретными объектами (Лена и Таня), такие объекты называются индивидными константами, во втором примере оба терма заданы в самом общем виде, какие-то корабли в каком-то море, их можно просто обозначить через x,y. В данном случае они представляют собой индивидные переменные.
В последнем примере мы видим на второй позиции терм брат, понятие брат в данном случае определяется как функция от терма мальчик (брат (мальчика)). Сами предикатные символы обозначаются, как правило, прописными буквами латинского алфавита.
Не следует путать предикатный и функциональный символы.
Предикат Отец (x,y) - означает x является отцом y. Это либо правда, либо нет, поэтому область значений предиката - это множество {0,1} или {И, Л}. Тогда как функция O(y), обозначающая отец объекта y, в качестве области определения имеет все человечество. Область значений данной функции - это мужская половина человечества, достигшая определенного возраста.
Равенство x=O(y), означает Отцом y является x.
Заметим, что функции могут формулироваться в виде отношений и в этом смысле введение функциональных символов может быть избыточным, но в том случае, когда область определения непрерывна, заменить функцию отношением весьма проблематично, тогда все равно приходится задавать отношение с использованием функции принадлежности. В дискретном случае функции оправдываются тем, что они помогают существенно упростить запись выражения.
Алфавит ИП
Словарь ИП содержит:
Константы - a,b,c
Переменные - х,y,z
Функциональные - f,g,h
Предикатные -P,Q,R
Высказывания - p,q,r
Пропозициональные связки -
Кванторы общности - .
Рассмотрим понятие формулы - вначале введем понятие терма по индукции:
Предметные константы и переменные - это термы
Если t1…tn - это термы, и f - n-местная функция, то f(t1…tn) - тоже терм, других нет.
Атомарная формула - это предикат, в который подставлены термы A(t1…tn).
Если С и B - формулы, то - формулы, других нет, остальные выражаются через них. В формуле переменная может быть свободной (стоит вне области квантора) или связной (в области действия квантора). Формула, не содержащая свободных переменных, называется предложением.
Пример: пусть имеем формулу . В первом случае связная, во втором свободная.
Высказывания можно воспринимать как 0-арный предикат.
Обозначения с - Сократ, H - быть человеком, M - быть смертным.
Навешиванием квантора всеобщности предикату мы фактически сопоставляем k-арный предикат который истинен тогда и только тогда, когда истинен исходный предикат с этими значениями и любым значением x0.
По аналогии навешиванием квантора существования и (к+1)- арного предиката Р(х0, …, хк) получаем к-арный предикат. Сущ. х0 Р(х0, х1,…, хк) - этот предикат истинен тогда и только тогда, когда исходный предикат для тех же значений переменных истинен хотя бы на 1 из возможных значений х0.
Понятие подстановки в ЛП
Согласно определению терма, множество всех термов T(F) содержит так же множество переменных Х. Подстановкой называется отображение v:X->T(F) такое что для всех х прин. Х за исключением некоторого подмножества из Х имеет место v(x)=x, т.е. в том случае когда х попадает в это конечное счетное множество Х она заменяется некоторым, указанным для нее термом, в противном случае - остается собой. F - множество функций, применяемых теорией. T - множество термов теории с учетом множества функциональных символов F .
Распространив подстановку v до некоторой функции v: T(F)->T(F) полагаем:
1)Если то
)Если t - символ константы, то
)Если для некоторой n-арной операции F, то
Терм называется результатом подстановки v к терму t.
Пример: пусть у нас присутствуют 3 переменные . Будем рассматривать функции свойственные теории множеств, т.е.
,
Введем подстановку:
Тогда:
Подстановку часто записывают в виде пар {xi=ti}
Пусть заданы 2 терма s и t. И надо найти подстановку, делающую их равными. Подстановка v называется унификатором s и t если .
Унификатор называется наибольшим общим унификатором s и t и обозначается m.g.u(s,t