Методы расчета электрических полей
Методическое пособие - Математика и статистика
Другие методички по предмету Математика и статистика
1. Основные уравнения электростатического поля
Прежде чем приступить к изложению численных методов расчета электростатического поля, запишем основные уравнения, устанавливающие связи между вектором напряженности электрического поля , вектором электрического смещения и истоками электрического поля (т.е. зарядами). Поскольку в данной работе рассматривается только электростатическое поле, то будем считать, что эти векторы, так же как и заряды, являются функциями пространственных координат, но не функциями времени. Кроме того, мы ограничимся здесь рассмотрением системы уравнений для неподвижных сред, предполагая, что все находящиеся в них тела неподвижны.
Распределение электрического поля в пространстве определяется одним из уравнений Максвелла, устанавливающим связь между вектором электрического смещения и истоками поля:
.(1.1)
Согласно уравнению (1.1) силовые линии вектора смещения начинаются и закачиваются на зарядах, плотность которых стоит в правой части уравнения (1.1).
Уравнение (1.1) должно быть дополнено соотношением между векторами поля и диэлектрической проницаемостью среды . Условимся в дальнейшем считать, что значения , заданные в каждой точке поля, остаются постоянными во времени, не зависят от напряженности поля, но могут быть кусочно-постоянными в пространстве, т.е. могут изменяться скачком при переходе из одной среды в другую, оставаясь постоянными в пределах каждой среды. Тела с остаточной поляризованностью, а также анизотропные среды, из нашего рассмотрения исключаются. При этих условиях для каждого момента времени имеем
,(1.2)
где =8,85?10-12 Ф/м электрическая постоянная.
Кроме того, уравнения (1.1) и (1.2) необходимо дополнить граничными условиями для векторов и .
Так как значения параметра могут изменяться скачком при переходе через поверхность раздела двух сред, то на этих поверхностях теряют смысл пространственные производные (div) в уравнении (1.1). На поверхностях раздела должны удовлетворятся следующие граничные условия:
,(1.3)
т.е. при переходе из среды 1 в среду 2 тангенциальная составляющая вектора напряженности электрического поля сохраняется, если плотность объемного заряда конечна;
,(1.4)
т.е. при переходе из среды 1 в среду 2 нормальная составляющая вектора электрического смещения изменяется на величину плотности поверхностного заряда на границе раздела.
В уравнениях (1.1)(1.4) предполагается, что вектор нормали к границе раздела направлен из 1-й среды во 2-ю.
Рассмотрим поведение электрического поля на границе раздела диэлектрик-проводник. Такие задачи типичны для расчета электрического поля, создаваемого в диэлектриках высоковольтными и заземленными металлическими (проводящими) частями электроэнергетического оборудования. При этом , и напряженность электрического поля во 2-й среде с большим значением диэлектрической проницаемости и проводимости (проводнике) оказывается близкой к нулю, а весь заряд проводящих частей конструкций оказывается распределенным по их поверхностям. Тогда на границе раздела двух сред тангенциальная составляющая вектора напряженности электрического поля равна нулю
,(1.5)
а нормальная составляющая определяется как
,(1.6)
где поверхностная плотность заряда на поверхности проводника.
Электростатическое поле.
В рассматриваемых здесь условиях (электрическое поле неизменно во времени, его источники неподвижны) определенный интеграл вектора напряженности электрического поля
вдоль линии, соединяющей некоторые точки A и B, не зависит от выбора пути интегрирования. Этот интеграл называется электрическим напряжением между точками A и B.
В таком случае вводится функция координат , называемая скалярным потенциалом электрического поля, разность значений которой в точках A и B равна напряжению между этими точками, т.е.
,
Тогда потенциал поля можно найти как неопределенный интеграл
.
Это позволяет дать точное определение скалярного потенциала как функции, у которой взятая со знаком минус частная производная по некоторому направлению равна составляющей вектора напряженности электрического поля в этом направлении. Отсюда следует, что вектор напряженности электрического поля и скалярный потенциал связаны соотношением
.(1.7)
В таком случае, если в некотором электрическом поле известно распределение потенциала в пространстве, то вектор может быть определен по трем своим составляющим. Так, например, в декартовых координатах, если , то
, , ,
и
.
Введение скалярного потенциала электрического поля позволяет существенно упростить расчет распределения электрического поля. Как известно, дивергенция вектора выражается в общем случае через частные производные всех трех его составляющих. Поэтому, если в пространстве задано распределение , то найти вектор (и в соответствии с соотношением (1.2) вектор ) непосредственно из уравнения (1.1) можно только в простейших случаях, когда вектор имеет, например, только одну составляющую. В общем же случае решение становится возможным с помощью потенциала, позволяющего исключить из уравнений (1.1) и (1.2) векторы и , и получить связь между потенциалом плотностью заряда .
Исключить вектор из уравнения (1.1) можно за сч?/p>