Методы расчета электрических полей
Методическое пособие - Математика и статистика
Другие методички по предмету Математика и статистика
го непрерывного распределения заряда по поверхности проводящих и диэлектрических тел совокупностью дискретных эквивалентных зарядов, расположенных внутри тел. Значения ЭЗ определяются из условия эквипотенциальности поверхностей проводников (1.10) , а также из условий неразрывности тангенциальной составляющей вектора напряженности электрического поля (1.3) и нормальной составляющей вектора электрического смещения (1.4) на границах раздела диэлектриков.
Начнем изучение метода эквивалентных зарядов с простейшего случая, когда полеобразующая система не содержит диэлектрических тел.
3.2.1. Расчет электростатического поля проводников.
Рассмотрим проводник, ограниченный поверхностью , к которому приложено напряжение V (рис. 3.2).
В данном случае реальное распределение заряда по поверхности тела замещается системой N точечных эквивалентных зарядов , расположенных внутри тела. На поверхности размещается N контурных точек (КТ) . Потенциал каждой контурной точки должен быть равен приложенному напряжению . Тогда для каждой КТ можно записать следующее уравнение:
,(3.2)
где расстояние от i-го заряда до j-ой контурной точки, . Таким образом, мы имеем систему из N линейных алгебраических уравнений с N неизвестными .
Рис. 3.2. К расчету электростатического поля методом эквивалентных зарядов.
Система уравнений (3.2) может также быть записана в матричной форме
,(3.3)
где P матрица потенциальных коэффициентов размерности ; Q вектор-столбец ЭЗ ; V вектор-столбец потенциалов КТ . Элементы матрицы потенциальных коэффициентов P определяются по формуле
.
Система линейных алгебраических уравнений (3.3) может быть решена относительно неизвестных значений ЭЗ, например, методом Гаусса. После этого составляющие вектора напряженности электрического поля в любой точке пространства с координатами определяются следующим образом:
(3.4)
Здесь - координаты эквивалентных зарядов .
Полный заряд проводника, ограниченного поверхностью определяется как
(3.5)
3.2.2. Расчет электростатического поля при наличии границы раздела между двумя диэлектриками.
Расчет электростатического поля в областях с двумя и более диэлектриками усложняет применение метода эквивалентных зарядов. Особенностью данного расчета является необходимость учитывать не только поверхностный заряд проводников, но и заряд, наведенный на границах раздела диэлектриков.
Рассмотрим порядок применения МЭЗ в такой ситуации на примере системы с двумя границами раздела металлдиэлектрик и одной границей раздела диэлектрикдиэлектрик (рис. 3.3).
Рис. 3.3. К расчету электростатического поля в системе, включающей границу раздела между двумя диэлектриками, методом эквивалентных зарядов.
В данном случае наряду с эквивалентными зарядами , расположенными внутри электрода, в расчете участвуют заряды, размещаемые по обе стороны границы раздела диэлектриков. В среде с диэлектрической проницаемостью располагаются заряды , а в среде с диэлектрической проницаемостью заряды . Так как во всей рассматриваемой области должно выполняться уравнение Лапласа, при расчете параметров поля в среде с диэлектрической проницаемостью (или ) заряды, расположенные в данной среде, не учитываются.
Система уравнений (3.3) составляется в данном случае следующим образом.
Для контурных точек, лежащих на поверхности проводника в среде с диэлектрической проницаемостью (), должны выполняться равенства
,(3.6)
а для контурных точек, лежащих на поверхности проводника в среде (), должны выполняться равенства
.(3.7)
Выражения (3.6) и (3.7) представляют собой требование эквипотенциальности поверхности проводника.
Для контурных точек на границе раздела двух диэлектриков () требуется выполнение двух условий:
,(3.8)
,(3.9)
где ; коэффициент пропорциональности между j-м эквивалентным зарядом и нормальной составляющей вектора напряженности электрического поля в i-ой контурной точке; - вектор нормали к границе раздела диэлектриков в i-ой контурной точке.
Выражение (3.8) отражает требование неразрывности потенциала на границе раздела двух сред, вытекающее из граничного условия (1.5). Выражение (3.9) отражает требование неразрывности нормальной составляющей вектора электрического смещения (1.4), которое в соответствии с уравнением (1.2) приводит к скачку нормальной составляющей вектора напряженности электрического поля:
.
Решив систему уравнений (3.3), сформированную из уравнений (3.6)(3.9), относительно значений эквивалентных зарядов , затем, используя принцип суперпозиции, можно рассчитать поле как внутри, так и на поверхности диэлектрика. Особенностью расчета является то, что для вычисления поля в одной из диэлектрических сред источниками поля являются заряды, находящиеся в проводнике и в другом диэлектрике. Заряды внутри исследуемой области не учитываются.
3.3. Метод интегральных уравнений
3.3.1. Свойства простого слоя заряда.
Как было сказано выше, идея метода интегральных уравнений заключается в замещении реальных распределений заряда по поверхности тел полеобразующей системы простыми слоями зарядов, распределенных по поверхности тел. Значения поверхностной плотности заряда оп