Методы расчета электрических полей
Методическое пособие - Математика и статистика
Другие методички по предмету Математика и статистика
ределяются из условия эквипотенциальности поверхностей проводников (1.10) , а также из условий неразрывности тангенциальной составляющей вектора напряженности электрического поля (1.3) и нормальной составляющей вектора электрического смещения (1.4) на границах раздела диэлектриков.
Простой слой заряда обладает следующими основными свойствами.
Во-первых, потенциал простого слоя заряда является непрерывной и ограниченной функцией координат во всём пространстве, включая точки поверхности, на которой расположен этот слой. Отсюда непосредственно вытекает равенство тангенциальных составляющих напряженности электрического поля по обе стороны поля.
Во-вторых, в соответствии с (1.4) нормальная составляющая напряженности электрического поля при переходе через простой слой зарядов испытывает скачёк равный
,
где и значения нормальной составляющей электрического поля по обе стороны слоя, поверхностная плотность заряда в рассматриваемой точке слоя.
Отсюда следует, что если внутри замкнутой поверхности , покрытой простым слоем зарядов, нормальная к поверхности составляющая напряженности электрического поля равна нулю, то по внешней поверхности
.
Можно также показать, что в этом случае потенциал на самой поверхности и внутри неё будет постоянным, а также будет равна нулю тангенциальная составляющая напряженности электрического поля на поверхности . Отсюда вытекает, что будет эквипотенциальной поверхностью, а поле будет совпадать с полем проводника такой же формы. Следовательно, с помощью простых слоёв зарядов можно создавать поля, идентичные полям реальных проводников.
3.3.2. Расчет электростатического поля проводников методом интегральных уравнений.
Рассмотрим некоторое тело, ограниченное поверхностью , к которому приложен потенциал (рис. 3.4). Задача состоит в том, чтобы определить такое распределение поверхностной плотности заряда на поверхности , которое обеспечило бы равенство потенциала на ней значению .
Рис. 3.4. К расчету электростатического поля методом интегральных уравнений.
Пусть точки A и B произвольные точки поверхности , тогда для точки B согласно принципу суперпозиции имеем
,(3.10)
где расстояние между точками A и B.
Уравнение (3.10) представляет собой интегральное уравнение Фредгольма I рода относительно неизвестной функции . В результате его решения определяется распределение поверхностной плотности заряда по поверхности . Если оно известно, то любые параметры электрического поля определяются по принципу суперпозиции. Так значения потенциала и проекций вектора напряженности электрического поля на координатные оси в произвольной точке M, лежащей вне поверхности определяются как
(3.11)
где косинусы углов между вектором и направляющими углами координатных осей.
3.3.3. Численная реализация метода интегральных уравнений.
Простейшим вариантом численного решения уравнения (3.10) является следующий метод. Нанесём на поверхность (рис. 3.5) некоторую сетку и в каждой её ячейке выберем расчётную точку (на рис. 3.5 расчетные точки обозначены квадратиками). Примем, что внутри каждой ячейки поверхностная плотность заряда постоянна. Тогда уравнение (3.10) можно переписать в следующем виде:
.(3.12)
Рис. 3.5. К численному расчету электростатического поля методом интегральных уравнений.
Замена интеграла по поверхности в уравнении (3.10) на сумму интегралов по элементам поверхности в (3.12) приводит к замене интегрального уравнения системой линейных алгебраических уравнений с неизвестными . В (3.12) через n обозначено число ячеек сетки на поверхности . Коэффициенты системы уравнений (3.12) определяются выражением
.(3.13)
При и подынтегральное выражение в (3.13) конечно. Если , то выражение имеет особенность Однако это выражение является интегрируемым. Выделим вблизи расчетной точки диск малого радиуса . Тогда, учитывая, что в данном случае , соответствующий интеграл по этому диску записывается в виде
.
Таким образом, определяемые выражением (3.13) коэффициенты конечны как при , так и при .