Методы вычисления приближенного значения интеграла
Дипломная работа - Компьютеры, программирование
Другие дипломы по предмету Компьютеры, программирование
?редних прямоугольников:
Рисунок 1.1.2 - Графическое отображение метода прямоугольников
Метод Ньютона-Котеса
Заменим подынтегральную функцию f(x) интерполяционным многочленом Лагранжа:
.
Тогда
;
Так как dx=hdq, то
Так как , то
Окончательно получаем формулу Ньютона-Котеса:
Величины Hi называют коэффициентами Ньютона-Котеса. Они не зависят от f(x). Их можно вычислить заранее для различного числа узлов n. Формула Ньютона-Котеса с n узлами точна для полиномов степени не выше n. Для получения большей точности не рекомендуется использовать формулы с большим числом узлов, а лучше разбивать отрезок на подотрезки, к каждому из которых применяется формула с одним и тем же небольшим числом узлов.
Интересно отметить, что из формулы следуют как частные случаи: формула трапеций при n=1
;
формула Симпсона при n=2
;
правило трех восьмых при n=3
.
При n>6 формулу не применяют, так как коэффициенты Ньютона-Котеса становятся слишком большими и вычислительная погрешность резко возрастает.
Рисунок 1.1.3 - Графическое отображение метода Ньютона-Котеса
Метод Чебышева
П.Л. Чебышев предложил формулу:
,
в которой коэффициенты ci фиксированы, а хi подлежат определению.
Пользуясь алгебраическими свойствами симметричных многочленов, опустив преобразования, ограничимся готовыми результатами. В таблице 2 приведены значения узлов квадратурной формулы Чебышева для некоторых значений n.
Метод Симпсона
Формулой Симпсона называется интеграл от интерполяционного многочлена второй степени на отрезке [a,b]:
где f(a), f((a + b) / 2) и f(b) - значения функции в соответствующих точках (на концах отрезка и в его середине).
При условии, что у функции f(x) на отрезке [a,b] существует четвёртая производная, погрешность E(f), согласно найденной Джузеппе Пеано формуле равна:
В связи с тем, что значение ? зачастую неизвестно, для оценки погрешности используется следующее неравенство:
Для более точного вычисления интеграла, интервал [a,b] разбивают на N отрезков одинаковой длины и применяют формулу Симпсона на каждом из них. Значение исходного интеграла является суммой результатов интегрирования на всех отрезках.
где - величина шага, а - узлы интегрирования, границы элементарных отрезков, на которых применяется формула Симпсона. Обычно для равномерной сетки данную формулу записывают в других обозначениях (отрезок разбит на узлов) в виде
Также формулу можно записать используя только известные значения функции, т.е. значения в узлах:
где k = 1,2 означает что индекс меняется от единицы с шагом, равным двум.
Общая погрешность E(f) при интегрировании по отрезку с шагом xi ? xi ? 1 = h (при этом, в частности, x0 = a, xN = b) определяется по формуле
.
При невозможности оценить погрешность с помощью максимума четвёртой производной (например, на заданном отрезке она не существует, либо стремится к бесконечности), можно использовать более грубую оценку:
.
В проекте должно вестись вычисление приближенного значения интеграла. Для этого необходимо создать формы с выбором метода вычисления, а также поля ввода пределов интеграла нижнего и верхнего. Создать формы для графической части, где будут выводиться графики функций по рассчитанным в программе значениям. Интерфейс должен быть понятен и доступен любому пользователю не смотря на уровень знания компьютера, то есть каждое поле ввода должно быть подписано. Для удобства пользования программой необходимо создать меню. В нем должно быть отражено информация о программе, руководство пользователя, а также теоритический материал по методам вычисления приближенного значения интеграла.
Поскольку в нынешнее время существует множество теоретических изданий и статей по высшей математики, в которых описывается большое многообразие методов решения интегральных выражений в электронном и книжном видах, то необходимость обработки информации компьютером очень велика. Велика потому, что не все источники достоверны и поиск требуемой информации может отнять уйму времени. Ранее до появления вычислительной техники все расчеты производились вручную и графики функций чертились от руки с помощью линеек и других приспособлений, а с появлением этого программного средства нет такой необходимости затрачивать время на вычисление и построение графиков программа сделает это сама.
В настоящее время уже созданы некоторые программные модули, касающиеся вычисления приближенного значения интеграла, но не организован ввод данных с клавиатуры, что является сложным для представления простого пользователя. Отдельно используются формы с выводом графической прорисовки значений выражения интеграла.
Программа может использоваться периодически на занятиях по высшей математике, а также для углубления знаний в этой сфере.
Полностью готовая программа будет обрабатывать данные введенные пользователем с клавиатуры о начальном значении интеграла и конечном его значении, по этим данным производить вычисления и по запросу пользователя выводить график функции. При обращении пользователя к программе о просмотре информации о интересующих методах. Она будет в?/p>