Методическое пособие по прогнозированию деформаций сооружений на основе результатов геодезических наблюдений
Контрольная работа - Геодезия и Геология
Другие контрольные работы по предмету Геодезия и Геология
?ре Casio имеются программы для аппроксимации линейной, экспоненциальной и полиноминальной зависимостей.
Пример формы подготовки данных и их обработка при аппроксимации
(пример из обработки данных по МГУ).
в=1,034; а=36,18; = 0,92.
=36,18 +1,034 .
Аппроксимация стандарта. Значительный опыт построения кинематических моделей процессов осадки показал, что часто изучение во времени стандарта хорошо аппроксимируется выражением:
. (13)
Таблица
Однако следует отметить, что не во всех случаях в уравнении (13) обеспечивается достаточно высокая теснота зависимости. Поэтому могут выбираться и другие формы связи, ориентируясь на графики изменения . Одной из таких форм может быть полиноминальная зависимость. Однако при использовании полиноминальной формы связи необходимо использовать ограниченное число её членов (на наш взгляд до двух-трёх). Считаем, что оптимальное ограничение числа членов полинома определяется опытом аппроксимации. При этом нужно иметь в виду, что увеличение числа членов полинома, используемого для аппроксимации, приводит к прохождению аппроксимированных значений (в нашем случае ) через точки , т.е. , полученные по результатам наблюдений. При таком совпадении точек аппроксимации и наблюдений исчезает свойство аппроксимации, синтезирующее закономерность развития описываемого процесса. В результате этого последующая прогнозная экстраполяция будет осуществляться не по обобщённой закономерности развития процесса, а по последнему частному аппроксимирующему уравнению, несмотря на формально высокую в этих случаях тесноту зависимости. Очевидно, что аппроксимирующее выражение (13) нелинейно и для упрощения решения задачи требуется её линеаризация. Для линеаризации (13) введём следующее преобразование. Обозначив через и умножив числитель и знаменатель правой части выражения (13) на эту величину, получим: или . Обозначив , получим линейную формулу уравнения (13) с неизменившимися параметрами c и d: . Очевидно, методика дальнейшей аппроксимации полностью совпадает с рассмотренной выше в 3.2.1 при соответствии в=c и d= а. Оценка тесноты зависимости производится также по (12). Подготовка данных для аппроксимации выполняется в следующей форме:
Таблица
Вычисление и аппроксимация автокорреляционной функции . Вычисление межцикловых параметров автокорреляционной функции процесса осадки выполняется по центрированным значениям реализаций , найденным ранее по формуле (5). Будем обозначать через и сечения процесса с текущими номерами циклов k и l, между которыми определяются автокорреляционные зависимости. Алгоритм вычисления корреляционных моментов между текущими сечениями (циклами измерений) случайного процесса имеет вид:
, (14)
где k и l - текущие номера циклов наблюдений сечений, i - номера осадочных марок (реализаций).
Пояснения: различают взаимную корреляцию, например, двух случайных величин х и у, обозначаемую через и автокорреляцию, выражающую степень зависимости между значениями одной и той же случайной величины, определяемыми в различное время .
Отметим ещё раз, что деление суммы ковариаций на (n-1) обусловлено необходимостью получить несмещённую оценку корреляционного момента. В упрощённом варианте при значительном числе реализаций можно допустить деление на n. Для понятности восприятия значений автокорреляционной функции и её аппроксимации переходят к её нормированному выражению:
. (15)
Для вычисления автокорреляционной функции можно использовать следующие формы таблиц:
Таблица 1 - Исходные данные для i =1,2,3,4,5 (i - номер марки (реализации)).
Таблица 2 - Вычисление автокорреляционных моментов
Таблица 3 - Составление автокорреляционной матрицы (по данным таблицы 2)
После составления автокорреляционной матрицы осуществляется переход от натуральных значений автокорреляционной матрицы к нормированным по формуле (15).
Таблица 4 - Нормированная автокорреляционная матрица
= (0,97);
;
;
.
Таблица 5 - Исходные данные для аппроксимации
Дальнейшая аппроксимация выполняется точно также как это было показано в разделе 2,1 для экспоненциального тренда.
Методика прогнозирования значений осадки конкретных марок и их разностей. Прогнозирование осуществляется по прогнозной модели (7) или (8). При этом экстраполируемые на (конец периода упреждения) параметры модели находятся по уравнениям, полученным в результате аппроксимации , , , выполненной на периоде основания прогноза. Аргументом при экстраполяции служит значение времени , отсчитываемое от начала, использованного при построении кинематической модели. Параметры , , - берутся из результатов наблюдений последнего цикла периода основания прогноза, на котором строилась модель. Адекватность модели следует оценивать путём инверсной верификации, т.е. контрольного прогнозирования на имеющиеся результаты наблюдений, не входящие в период основания прогноза.
алгоритм деформация вариация сечение