Geum.ru

Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Дипломная работа - Педагогика

Другие дипломы по предмету Педагогика

µние равносильно совокупности двух систем:

Будем решать каждую из систем по отдельности.

Решение первой системы:

Если внимательно посмотреть на неравенства последней системы, можно заметить, что пересечение множеств и пусто. Следовательно, первая система совокупности корней не имеет.

Решение второй системы:

Ответ: .

Иррациональные уравнения, содержащие параметр

Уравнение вида называется иррациональным с параметром относительно неизвестного , если одна или обе его части содержат выражения, иррациональные относительно .

Как и раньше, будем находить только действительные корни.

Трудно указать какой-нибудь общий и вместе с тем достаточно простой способ решения иррациональных уравнений, содержащих параметр.

Проиллюстрируем некоторые способы решения на примерах.

Пример 3. Для каждого действительного значения параметра решить уравнение

.

Решение. Исходное уравнение равносильно смешанной системе

При эта система решений не имеет.

При получим решение

Теперь необходимо найти те значения , при которых эта система имеет решение:

Ответ: при корней нет;

при .

Для решения иррационального уравнения иногда удобно ввести вспомогательную неизвестную величину. При этом получаем квадратное уравнение с параметром, которое нужно решить в пределах некоторого ограниченного множества значений нового неизвестного.

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. Область определения данного уравнения:

Так как и , то и .

Сделаем замену , тогда и исходное уравнение можно записать в виде системы

которая равносильна системе

Корни уравнения должны удовлетворять первому условию последней системы, то есть необходимо решить систему

Итак, при исходное уравнение имеет единственный корень . Отсюда при имеем

,

Ответ: при ;

при корней нет.

Иррациональные показательные уравнения

Пример 5. Решить уравнение .

Решение. Перепишем уравнение так:

,

Приведем все степени к одному основанию 7:

.

Сделаем замену , , тогда получаем уравнение , корнями которого являются

Сделаем обратную замену:

или

уравнение не имеет решений.Ответ: .

Пример 6. Решить уравнение .

Решение. Приведем все степени к одному основанию:

.

откуда получаем уравнение которое равносильно уравнению:

Ответ:

Иррациональные логарифмические уравнения

Пример 7. Решить уравнение .

Решение. Преобразуем данное уравнение:

.

Учитывая ОДЗ, данное уравнение равносильно системе:

Ответ:

Пример 8. Решить уравнение

Решение. Учитывая ОДЗ, данное уравнение равносильно системе:

Уравнение этой системы равносильно совокупности уравнений:

Последнее уравнение этой совокупности равносильно уравнению:

Из неравенства системы следует, что . Следовательно, посторонний корень.

Ответ: ,

 

 

Сколько корней имеет уравнение ?

 

Сколько корней имеет уравнение ?

Приложение Б

 

Диагностирующая контрольная работа №1

  1. Сколько корней имеет уравнение

    ?А. ни одногоБ. одинВ. дваГ. четыре

  2. Решите уравнение, укажите корень уравнения (или сумма корней, если их несколько).А. Б. 1В. 2Г. корней нет
  3. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения (или сумма корней, если их несколько). А. Б. В. Г.
  4. Решите уравнение, укажите корень уравнения (или произведение корней, если их несколько).
  5. Решите уравнение , укажите корень уравнения.
  6. Решите уравнение , укажите корень уравнения (если корень не единственный, то наибольший)
  7. Решите уравнение , укажите корень уравнения.
  8. Решите уравнение .Диагностирующая контрольная работа №2
  9. Сколько корней имеет уравнение ?А. четыре Б. два В. одинГ. ни одного
  10. Решите уравнение, укажите корень уравнения (или сумма корней, если их несколько).А. 4Б. 1В. Г. корней нет
  11. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения (или сумма корней, если их несколько).А. Б. В. Г.
  12. Решите уравнение, укажите корень уравнения (или произведение корней, если их несколько).
  13. Решите уравнение , укажите корень уравнения.
  14. Решите уравнение , укажите корень уравнения (если корень не единственный, то наибольший).
  15. Решите уравнение , укажите корень уравнения.
  16. Решите уравнение .Ответы и решение заданий диагностирующей контрольной работы №1
  17. А.
  18. А.
  19. Б.
  20. Уединив первый радикал, получаем уравнение , равносильное исходному. Возводя обе части этого уравнения в квадрат, получаем уравнение, . Последнее уравнение равносильно системе Решая уравнение этой системы, равносильное уравнению , получим корни и . Первый корень не удовлетворяет неравенству системы и, следовательно, является посторонним корнем исходного уравнения. Ответ: .
  21. Введем новую переменную , тогда , причем . В результате исходное иррациональное уравнение принимает вид квадратного , откуда учитывая ограничение , получаем . Решая уравнение , получаем корень . Как показывает проверка, удовлетворяет исходному уравнению. Ответ: .
  22. Введем новую переменную . В результате исходное иррациональное уравнение принимает вид Решая первое уравнение этой системы, получим корни и . Второй корень не удовлетворяет неравенству системы. Решая уравн?/p>