Алгебра октав
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
2 = (z, z)(u, и),
т.е. выполняется
(zu, zu) = (z, z)(u, и).
Проверим выполнение условий скалярного произведения:
1) (z, z) = | z |2 = a2 + b2 ? 0 и (z, z) = a2 + b2 = 0 a= 0 b= 0 z=0;
2) (z, u) = (zu + u) = ( u+zu) =(u, z);
3) (z, ku) = (z +(ku) ) = k(zu + u) =k(z, u);
4) (z, u+v) = (z +( u+v) ) = (zu+z+ u+ v) =(zu+ u)+ ( z+ v) = (z+u)+(z+v).
Итак, все условия скалярного произведения при
(z, u) = (zu + u)
выполнены для комплексных чисел z и u.
Пример 2. Пусть - тело кватернионов. Базисом в К являются 1, i, j, k. Если
р = a+bi+cj+dk, q = a1+b1i+c1j+d1k,
то по свойству 6 сопряженных кватернионов
p + q = 2(aa1 + bb1 + cc1 + dd1).
Возьмем в качестве скалярного произведения двух кватернионов р и q выражение
(p + q) = aa1 + bb1 + cc1 + dd1.
Итак,
(p, q) = (p + q).
В частности,
(p, p) = (p + p)= p = |p|2 = a2+ b2 + c2 + d2.
Проверим выполнение условий скалярного произведения:
1) (p, p) = |p|2 = a2+ b2 + c2 + d2 ? 0 и (p, p) = a2+ b2 + c2 + d2 = 0 a= 0 b= 0 c= 0 d= 0 p=0;
2) (p, q) = (p + q) = ( q+ p) = (q; p);
3) (p, kq) = (p +(kq) ) = k(p + q) =k(p, q);
4) (p, q1+q2) = (p +(q1+q2) ) = (p1+ p2+ q1+ q2) =(p1+ q1) + (p2+ + q2) = (p+q1)+(p+q2).
Проверим равенство:
(pq, pq) = (p, p)(q, q).
В самом деле,
(pq, pq) = ((pq) * () + (pq) * ()) = ((pq) * () + (pq) * ()) = (pq) * () = p(q)= |q|2 p=|p|2 + |q|2 = (a2 + b2 + c2 + d2)* () = (p,p ) (q, q).
Итак, все условия скалярного произведения при
(p, q) =(p + q)
выполнены для кватернионов р и q.
Пример 3. Пусть - алгебра октав. Базисом в U являются 1, i, j, k, e, I, J, K.
Если
w =и+ve =a+bi+cj+dk+Ae+BI+CJ+DK, и w1 =a1+b1i+c1j+d1k+ A1e+B1I+C1 J+D1K,
то по свойству 6) сопряженных октав
w+w1=2 (aa1+bb1+cc1+dd1+A A1+BB1+CC1 +DD1).
Возьмем в качестве скалярного произведения двух октав w и w1 выражение
(w+w1) =aa1+bb1+cc1+dd1+A A1+BB1+CC1 +DD.
Итак,
(w, w1) = (w+w1).
В частности,
(w, w) = (w+w) = w = | w |2 = a2 + b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2 .
Проверим выполнение условий скалярногопроизведения:
1) (w, w) = | w |2 = a2 + b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2 ? 0 и (w, w) = a2 + b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2 a= 0 b= 0 c= 0 d= 0 A = 0 b= 0 c= 0d= 0 w = 0;
2) (w, w1) = (w1+w1) = (w1+w1) =(w1, w);
3) (w, kw1) = (w(1)+(kw1)) = k(w1+w1) =k(w1, w);
4) (w, w1+ w2) = (w+(w1+w2) ) = ( w1 + w2+ w1+ w2) = (w1 + w1) +(w2+w2) = (w, w1)+( w, w2).
Проверим равенство:
(ww1, ww1) = (w, w)(w1, w1).
Действительно,
(ww1, ww1) = (( ww1)() + (ww1)()) = (( ww1)(1) + (ww1)(1)) = (ww1)(1) = w(w11) = | w1 |2* w11 = | w |2 * | w1 |2 = (a2 + b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2) * () = (w, w)(w1, w1).
Итак, все условия скалярного произведения при
(w, w1) = (w1+w1)
для октав w и w1 выполнены.
Лемма 2. В любой нормированной линейной алгебре имеет место тождество:
(a1b1,a2b2) + (a1b2, a2b1) = 2(а1, a2)(b1, b2). (1)
Подставим в основное тождество () данной нормированной линейной алгебры вместо х сумму a1 + а2, а вместо у - элемент b. Тогда:
((a1 + а2)b, (а1 + a2)b) = (a1 + а2, а1 + а2)(b, b)
(a1b + a2b, a1b + a2b) = (a1+a2, a1+a2)(b, b)
(a1b + a2b, a1b) + (a1b + a2b, a2b) =
(а1, a1)(b, b) + (a2, a2)(b, b) + 2(a1, a2)(b, b)
(a1b, a1b) + (a2b, a2b) + 2(а1b, a2b) =
(a1, a1)(b, b) + (a2, a2)(b, b)+2(a1, a2)(b, b).(2)
Но в силу условия ():
(a1b, a1b) = (a1, a1)(b, b); (a2b, a2b) = (a2, a2)(b, b).
Тогда из (2) следует
(a1b,a2b) = (a1, a2)(b, b). (3)
Заменим в (3) b на сумму b1 + b2:
(a1(b1 + b2), a2(b1 + b2)) = (a1, a2)(b1 + b2, b1 + b2)
(a1b1+a1b2, a2b1+a2b2) = (a1, а2)((b1, b1)+(b2, b2)+2(b1, b2))
(a1b1, a2b1) + (a1b1, a2b2) + (a1b2, a2b1) + (a1b2, a2b2) =
(a1, a2)(b1, b1) + (a1, a2)(b2, b2) + 2(a1, a2)(b1, b2). (4)
Но в силу (З):
(a1b1, a2b1) = (a1, a2)(b1, b1); (a1b2, a2b2) = (a1, a2)(b2, b2).
Тогда из (4) следует
(a1b1, a2b2) + (a1b2, a2b1) = 2(a1, a2)(b1, b2),
что и требовалось доказать.
Лемма 3. В нормированной линейной алгебре с единицей имеет место равенство
(аb) = (b, b)а. (5)
Докажем это равенство для случая b 1 . По следствию из леммы 1 тогда для любого х А имеет место х = k1 + b, откуда при х = b следует k = 0. В этом случае
= - b.
Рассмотрим элемент с = (ab) - а, где = (b, b).
В силу свойств скалярного произведения имеем:
(с, с) = ((аb) - а, (аb) - а) =((аb) , (ab) ) + 2(a, а)- 2((ab) , а). (6)
Упростим первое слагаемое в правой части равенства (6):
((аb) , (ab) ) = (ab, аb)( , ) = (а, а)(b, b)( , ) = (a, а)(b, b)2 = 2(а, а).
Для упрощения третьего слагаемого в правой части равенства (6) воспользуемся тождеством (1), записав его в виде:
(а1b1, а2Ь2) = 2(а1, a2)(b1, b2) - (a1b2, a2b1).
Положив a1 = ab, b1 = , a2 = a, b2 = 1, получим:
((аb) , a) = 2(ab, а)( , 1) - (ab, а). (7)
Так как
b1, то (, 1) = (-b, 1) = -(b, 1) = 0.
Далее:
-(ab, а) = -(ab, а(-b)) = (ab, ab) = (a, a)(b, b) = (а, а).
Тогда:
((аb) , а) = (а, а).
Отсюда в равенстве (6) получаем:
(с, с) = 2(а, а) + 2(а, а) - 22(а, а) = 0.
Так как (с, с) = 0, то с = 0, или (ab) - а = 0, откуда
(аb) = а = (b, b)a.
Если b не ортогонален 1, то b = k1 + b/, где b/ 1. Тогда
= k1 - b/ и (аb) = (а(k1+ b/))(k1- b/) = k2а - (ab/)b/ = k2а + (аb/)/.
Так как по доказанному выше:
(аb/)/.= (/,/)а, то (аb) = k2a + (b/, b/)a = [k2 + (b, b)]a = (b, b)a,
так как
(b, b) = (k1+ b/, k1+ b/) = k2(1, l) + (b, b)+2k(b, l) = k2 + (b, b)
в силу того, что (1, 1) = 1 и (b/ , 1) = 0, так как b/ 1.
Следствие 1. В нормированной линейной алгебре с единипей имеет место равенство
(ах)+(ау) = 2(х,у)а. (8)
Подставим в тождество (5) вместо b сумму х + y. Тогда
(а(х + у))() = (х + у, х + у)а (а(х + у))( +) = ((х, х) + (у, у) + 2(х, у))а (ах) + (ау) + (ах) + (ау) = (х, х)а+(у, у)а + 2(х, у)а.
В силу тождества (5):
(ax)= (х, х)а, (ау) = (у, у)а.
Тогда:
(ах) + (ау) = 2(х, у)а,
что и требовалось доказать.
Следствие 2. Нормированная линейная алгебра с единицей является альтернативной линейной алгеброй.
Если в равенстве (5) (ab) = (b, b)a положить а = 1, т?/p>