Матричные антагонистические игры с нулевой суммой в чистых стратегиях
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
ли конечная антагонистическая игра, а , подыгра игры G причём - чистая стратегия игрока 1 в игре G, доминируемая над некоторой стратегией , спектр которой не содержит . Тогда всякое решение игры является решением игры G.
Свойство 4: Тройка является решением игры 0
ГЛАВА 2. Игры с нулевой суммой в чистых стратегиях
2.1 Вычисление оптимальных стратегий на примере решения задач
Используя теорему о минимаксе, можно утверждать, что каждая антагонистическая игра имеет оптимальные стратегии.
Теорема: пусть А матричная игра и строки данной матрицы являются доминирующими. Тогда игрок 1 имеет такую оптимальную стратегию х, что ; кроме того, любая оптимальная стратегия для игры, получающаяся в результате удаления доминирующих строк, будет также оптимальной для первоначальной игры.
Пример 1. Игра доминирования
Рассмотрим игру с матрицей . Здесь второй столбец доминирует 4 и игрок 2 соответственно не будет использовать 4 стратегию. Поэтому можно рассмотреть матрицу следующего вида . В этой матрице третья строка доминирует первую. При удалении получается матрица . А в этой матрице третий столбец доминируется вторым. Следовательно, исходная матрица сводится к следующей матрице .
Пример 2. Игра на уклонение.
Предполагается, что игроки выбирают целые числа i и j между 1 и n, а игрок 1 выигрывает величину , т.е. расстояние между i и j. Пусть первый игрок придерживается стратегии , тогда для всех (( - значение игры).
- Пусть
нечётно, тогда игрок 2 имеет чистую стратегию для всех
- Предположим, что
чётно, тогда игрок 2 имеет такую стратегию где , , , , , для всех . Теперь используя теорему можно убедиться, что значение игры . Игрок 1 имеет оптимальную стратегию , а оптимальная стратегия игрока 2 равна , если и если
Приведём теорему, по которой решалась эта игра. Теорема: для того, чтобы ситуация
была равновесной в игре , а число - значение игры , необходимо и достаточно выполнение следующего неравенства. Для всех и : ).
Ситуация называется ситуацией равновесия в чистых стратегиях, если для любых выполнено двойное неравенство (*). Если каждый из игроков стремится достичь ситуации равновесия, то принцип, которому они следуют, называют принципом равновесия. Для игры, заданной матрицей равенство (т.е. верхнее значение игры равно нижнему значению) записывается в виде , а неравенство (*) в виде , где чистые максиминная и минимаксная стратегии соответственно игроков I и I I.
Пример 3. Игра Дуэль.
Два дуэлянта (игроки А и В) начинают сходиться в момент времени t=0. Встреча произойдёт в момент времени t=1. У каждого есть возможность выстрелить в любой момент времени. Если одному из них удастся выстрелить раньше соперника, то он становится победителем. Если же оба выстрелят одновременно, то дуэль закончится вничью. Если игрок А произведёт выстрел в момент времени x () то его выстрел будет успешным с вероятностью р(x). Подобным образом будет вероятным выстрел игрока В в момент времени y () c вероятностью q(y). При условии игрок А выиграет с вероятностью р(x), а проиграет с вероятностью (1- р(x)) q(y). Тем самым его средний выигрыш при будет равен . С другой стороны, если x> y, то его средний выигрыш будет равен . При x= y средний выигрыш . Таким образом, функция H(x,y) игрока А имеет вид
и антагонистическая игра задана. В частности, если игроки стреляют без промаха,
,
2.2 Примеры матричных игр в чистой и смешанной стратегиях Уменьшение порядка платёжной матрицы
Порядок платёжной матрицы (количество строк и столбцов) может быть уменьшен за счёт исключения доминируемых и дублирующих стратегий.
Стратегия K* называется доминируемой стратегией K**, если при любом варианте поведения противодействующего игрока выполняется соотношение
< ,,
где и - значения выигрышей при выборе игроком, соответственно, стратегий K* и K**.
В случае, если выполняется соотношение
= ,
стратегия K* называется дублирующей по отношению к стратегии K**.
Например, в матрице
B1B2B3B4B5B6A1123447A2765448A3182336A4813225
Платёжная матрица с доминируемыми и дублирующими стратегиями. Стратегия A1 является доминируемой по отношению к стратегии A2, стратегия B6 является доминируемой по отношению к стратегиям B3, B4 и B5, а стратегия B5 является дублирующей по отношению к стратегии B4. Данные стратегии не будут выбраны игроками, так как являются заведомо проигрышными и удаление этих стратегий из платёжной матрицы не повлияет на определение нижней и верхней цены игры, описанной данной матрицей.
Множество недоминируемых стратегий, полученных после уменьшения размерности платёжной матрицы, называется ещё множеством Парето (по имени итальянского экономиста Вильфредо Парето, занимавшегося исследованиями в данной области)
Пример решения матричной игры в чистых стратегиях
Рассмотрим пример решения матричной игры в чистых стратегиях, в условиях реальной экономики, в ситуации борьбы двух предприятий за рынок продукции региона.
Задача
Два предприятия производят продукцию и поставляют её на рынок региона. Они являются единственными поставщиками продукции в регион, поэтому полностью определяют рынок данной продукции в регионе.
Каждое из предприятий имее?/p>