Матриці та системи лінійних рівнянь (матрица системных линейных уравнений)
Методическое пособие - Математика и статистика
Другие методички по предмету Математика и статистика
на усіх власних значень квадратної матриці другого порядку називається її спектром. Якщо така множина є двоелементною, то кажуть, що матриця має простий спектр.
Теорема. Квадратна матриця А другого порядку з простим спектром подібна до діагональної.
Доведення. Оскільки така матриця А є подібною до жорданової матриці, то вона подібна до матриці виду або до матриці виду Припустимо, що вона подібна до матриці Тоді ці матриці мають однакові характеристичні рівняння, а, отже, і множини їх коренів. Проте множина коренів рівняння є одноелементна. Отже, матриця А має два однакових власних значення.
Суперечність.
Теорему доведено.
3.9. Рівняння
І. Розглянемо спочатку рівняння , в якому а Х - невідома квадратна матриця другого порядку. Нехай Х0 - якийсь розвязок цього рівняння. Тоді існує (згідно попередніх пунктів) матриця Т, для якої - жорданова матриця. Y0 - теж розвязок цього рівняння. Справді, Оскільки Y0 - жорданова матриця, то можливі наступні варіанти її вигляду:
1). або 2). де а1, а2, а - числа (комплексні).
1). Нехай Тоді Тому
Отже, Тоді .
Отже, .
Перевірка показує, що О і справді є розвязком рівняння.
2). Нехай Тоді Тому . Отже, . Тоді . Отже,
Нехай Т - довільна неособлива матриця, тоді - розвязок рівняння.
Справді,
Таким чином, множина всіх розвязків рівняння складається з усіх матриць де Т довільна неособлива матриця, і з
Зауваження. Якщо задано деяке матричне рівняння яке має наступну властивість: якщо Х0 - розвязок, а Т - довільна неособлива матриця, то теж розвязок, то для його розвязання, зрозуміло, достатньо знайти розвязок S в кожному з усіх різних класів подібних матриць (якщо такий розвязок існує). Всі матриці в класі подібних будуть розвязками рівняння, якщо хоч один розвязок з цього класу існує. Представники ж класів подібних матриць краще брати у жордановій формі, оскільки над такими матрицями легше виконувати обчислення і, крім того, такі матриці є єдиними в кожному класі подібних матриць з точністю до порядку слідування жорданових блоків. Прикладами рівнянь з такою властивістю є і
ІІ. Розвяжемо тепер рівняння де Х - квадратна матриця другого порядку, використавши це зауваження.
Нехай тоді тобто або або або або Далі використовуємо п. 3.7. Зрозуміло тоді, що
Отже, - представники різних класів подібних матриць, які є розвязками рівняння.
Далі, нехай тоді Отже, і що неможливо.
Отже, всі розвязки рівняння такі:
де Т довільна неособлива матриця.
3.10. Вправи
1. Знайти спектр матриці та звести її до діагональної форми.
2. Розвязати матричне рівняння в квадратних матрицях другого
порядку.
3. Звести до жорданової форми матрицю
4. Розвязати матричне рівняння в квадратних матрицях другого
порядку, де , використавши попередню задачу.
5. Розвязати матричне рівняння в квадратних матрицях другого
порядку.
6. Розвязати матричне рівняння в квадратних матрицях другого
порядку
Список літератури
1. Скорняков Л.А. Элементы алгебры. Москва. Наука. 1980. 240 с.
2. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. Москва. Наука. 1970. 400 с.
3. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия.
Москва. МГУ. 1980. 320 с.
4. Ланкастер П. Теория матриц. Москва. Наука. 1978. 280 с.
5. Горбачук О.Л., Воробець Б.Д. Вступ до вищої алгебри. Львів. ЛДУ. 1976. 88 с.