Матриці та системи лінійних рівнянь (матрица системных линейных уравнений)
Методическое пособие - Математика и статистика
Другие методички по предмету Математика и статистика
p>;
;
;
;
;
;
;
.
і ).
Лінійною комбінацією векторівназивається вектор , де числа.
В числовому n - вимірному просторі кожен векторможна представити у вигляді лінійної комбінації векторів
де Далі всюди ми використовуватимемо позначеннятільки для вказаних векторів.
1.11. Подібні матриці
Будемо говорити, що квадратна матриця А порядку n є подібною до квадратної матриці С того ж порядку, якщо існує невироджена квадратна матриця Х порядку n така, що
В цьому випадку пишуть наступне: ~.
Властивості подібності:
~ (рефлексивність).
- Якщо
~ , то ~ (симетричність).
- Якщо
~ і ~ , то ~.
Справді,
Справді, якщо , то , бо
Справді, якщо ~ і ~ , то існують такі що , . Тоді , тобто .
Класом подібних матриць будемо називати всі матриці, що є подібними до даної матриці .
1.12. Вправи
1. Матрицю подати, як лінійну комбінацію матриць:
,,,,
,,,,
.
2. Нехай . Чи обовязково ?
3. Обчислити , якщо .
4. Коли справджуються рівності і .
5. Довести, що добуток двох симетричних матриць є симетричною
матрицею тоді й тільки тоді, коли ці матриці комутують.
6. Квадратна матриця називається кососиметричною, якщо .
Довести, що всяку квадратну матрицю можна представити як суму
симетричної та кососиметричної.
7. Обчислити
8. Довести: якщо , то обидві матриці квадратні та однакового
порядку.
9. Довести формулу .
10. Довести, що добуток двох верхніх (нижніх) трикутних матриць
однакового розміру є верхньою (нижньої) трикутною матрицею.
Розділ 2. Системи лінійних рівнянь
2.1. Система двох лінійних рівнянь з двома невідомими
Нехай маємо систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими
(1)
В даному пункті розглядатимемо лише такі системи.
Розвязком такої системи називається вектор , де числа, для якого мають місце такі числові рівності:
Система може не мати розвязків, може мати єдиний розвязок, або мати більше одного розвязку.
Приклади:
1).
Дана система розвязків не має.
2).
Дана система має єдиний розвязок
3).
Дана система має безліч розвязків де довільне число.
Справді, і для довільного числа .
Дві системи рівнянь називаються рівносильними (еквівалентними), якщо вони мають однакові множини розвязків. Система рівнянь називається сумісною, якщо вона має хоча б один розвязок.
Система рівнянь називається несумісною, якщо вона не має жодного розвязку, тобто множина розвязків є порожня множина .
Матриця називається матрицею системи (1). Систему (1) зручно записувати в матричному вигляді
(2)
де .
Форму (2) запису системи (1) називають матричною. Крім такої форми запису, зручно використовувати запис у вигляді розширеної матриці:
, (3)
а також у векторній формі:
(4)
де
стовпці матриці .
Доведемо ряд важливих тверджень про розвязки систем двох лінійних рівнянь з двома невідомими.
Лема 1. Якщо матриця є неособливою, то система (1) має єдиний розвязок.
Доведення. Оскільки матриця є неособливою, то для неї існує обернена матриця.
Зрозуміло, що вектор розвязок системи (1). Справді, .
Покажемо, що це єдиний розвязок системи (1). Справді, нехай - якийсь розвязок системи (1). Тоді . Тоді , тобто . Це показує, що .
Лему доведено.
Лема 2. Якщо матриця є особливою, то система має ненульові розвязки.
Доведення.
1). Нехай А нуль-матриця, тоді
Отже, - ненульовий розязок системи
2). Нехай А не є нуль-матрицею. Тому не всі дорівнюють нулю.
Зрозуміло, що
і
Оскільки не всі дорівнюють нулю, то з останніх двох рівностей випливає, що система має ненульові розвязки.
Лему доведено.
Теорема. Система (1) має єдиний розвязок тоді і тільки тоді, коли матриця цієї системи неособлива.
Доведення. З леми 1 випливає, що якщо А неособлива, то система (1) має єдиний розвязок.
Навпаки. Нехай система (1) має єдиний розвязок Покажемо, що тоді система має теж єдиний розвязок (нуль-вектор).
Справді, припустимо, що ненульовий вектор розвязок . Тоді розвязок системи (1). Справді, Зрозуміло, що , бо
Отже, система (1) має принаймні два різні розвязки. Суперечність.
Отже, наше припущення хибне. Тому має лише один розвязок. За лемою 2 А неособлива матриця.
Теорему доведено.
Наслідок. Система , де , має лише нульовий розвязок тоді і тільки тоді, коли .
2.2. Системи лінійних рівнянь: основні означення
Нехай маємо систему з лінійних рівнянь з невідомими :
(1)
де деякі числа. Зокрема, можливо, що
Розвязком системи (1) називається будь-яка впоря?/p>