Матриці та системи лінійних рівнянь (матрица системных линейных уравнений)
Методическое пособие - Математика и статистика
Другие методички по предмету Математика и статистика
?мінне від 0.
Тому розглянемо системи виду (1).
В такій системі невідомі називаються головними невідомими, а всі інші невідомі вільними невідомими.
Розглянемо два випадки:
І. Нехай серед чисел хоч одне відмінне від 0. Тоді система (1) містить рівняння
де .
Зрозуміло, що жодна сукупність чисел не задовольняє рівняння. Отже, система (1) розвязків немає. Тобто (1) несумісна система.
ІІ. Нехай Для зручності подальших міркувань зробимо перепозначення невідомих буквами , так щоб головні невідомі були позначені відповідно через , а всі інші (тобто вільні невідомі) через інші .
У відповідності до цього елементи матриці А системи (1) будуть перепозначені на елементи матриці С, тобто система (1) матиме наступний вигляд:
(2)
де
(Рівняння системи (1), починаючи з -го мали вигляд і тому ми їх опустили, оскільки при вилученні нуль-рівнянь (рівнянь виду ) система переходить у рівносильну їй систему.)
Надамо вільним невідомим довільним чином конкретні числові значення Тоді з останнього рівняння однозначно визначається , а саме:
(3)
Тоді з попереднього рівняння (-го рівняння) можна однозначно визначити і т. д.
Якщо вже визначені то з і-го рівняння
визначається однозначно
Так, рухаючись вгору по системі, будуть однозначно визначені тобто будуть однозначно визначені усі головні невідомі через числа .
Отже, система (2), а тому і система (1) є сумісними, причому при система має єдиний розвязок, а при більше, ніж один розвязок. Зрозуміло, що усі розвязки системи (2) отримуються вказаним методом. Тобто ми можемо знайти всі розвязки системи.
Приклад. Нехай маємо систему
Ця система східчаста і має вигляд (1) ( головні невідомі; вільні невідомі). Нехай де довільні числа. Тоді з останнього рівняння системи маємо
а тоді можна визначити з першого рівняння
тобто
Таким чином, множина усіх розвязків даної системи.
2.5. Зведення системи лінійних рівнянь до східчастого вигляду (метод Гаусса)
В пункті 2.4 було наведено метод розвязання східчастих систем (обернений хід методу Гаусса послідовне знаходження головних невідомих через вільні невідомі). В цьому пункті ми покажемо, що кожна система лінійних рівнянь за допомогою скінченного числа елементарних перетворень може бути зведена до системи східчастого вигляду (прямий хід методу Гаусса). Враховуючи те, що елементарні перетворення переводять систему в рівносильну їй систему, ми одержимо таким чином загальний метод розвязування систем лінійних рівнянь. Він називається методом Гаусса.
Теорема. Кожна система лінійних рівнянь за допомогою скінченного числа елементарних перетворень зводиться до системи східчастого вигляду.
Доведення теореми для випадку системи з трьох рівнянь з чотирма невідомими.
Спочатку ми доведемо цю теорему для випадку системи, що складається з 3-ох рівнянь і має 4-и невідомі. Справді, нехай маємо систему:
(S1)
Будемо вважати, що матриця даної системи не є нуль-матрицею, бо інакше система вже мала б східчастий вигляд. Тоді серед усіх стовпців матриці А існує ненульовий стовпець з найменшим номером . Тоді наша система може бути записана у такому вигляді:
(S1)
Причому можна вважати, що Цього можна завжди домогтися перестановкою рівнянь (елементарне перетворення), оскільки стовпець ненульовий. Для того, щоб коефіцієнт при в другому і в третьому рівняннях зробити рівним 0, додамо до другого рівняння перше, помножене на , а до третього додамо перше, помножене на . Таким чином, здійснивши дані елементарні перетворення, ми одержимо систему, в якій входить тільки до першого рівняння:
(S2)
Можливі випадки або . Якщо , то система (S2) має східчастий вигляд. Тому вважатимемо, що
Якщо матриця
нульова, то система (S2) вже має східчастий вигляд. Розглянемо випадок, коли така матриця ненульова. Тоді в матриці хоча б один стовпець ненульовий. Номери стовпців матриці змінюються від до 4. Серед усіх ненульових стовпців матриці виберемо стовпець з найменшим номером . Тоді система (S2) має вигляд
(S2)
Причому можна вважати, що . Цього можна завжди домогтися перестановкою рівнянь (елементарне перетворення), оскільки стовпець ненульовий. Для того, щоб у третьому рівнянні системи (S2) коефіцієнт при зробити рівним 0, додамо до третього рівняння друге, помножене на . Таким чином, здійснивши елементарне перетворення над системою (S2), ми одержимо систему східчастого вигляду.
Теорему для даного випадку доведено.
Доведення теореми для загального випадку.
Доведення проводимо індукцією за числом рівнянь даної системи.
1). Якщо система складається лише з одного рівняння , то вона є східчастою.
2). Припустимо, що система з числом рівнянь шляхом елементарних перетворень зводиться до східчастої.
3). Покажемо, що тоді і система з числом рівнянь шляхом елементарних перетворень зводиться до східчастої.
Справді, нехай маємо систему, що має рівнянь
(1)
Якщо матриця даної системи є нуль-матрицею, то система (1) є східчастою. Тому вважатимемо, що матриця системи (1) не є нуль-матрицею. Тоді вона ?/p>