Математическая статистика
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
Задание 1. Объединение множеств. Привести примеры
Решение:
Понятие множества принадлежит к числу основных, неопределяемых понятий математики. Оно не сводится к другим, более простым понятиям. Поэтому его нельзя определить, а можно лишь пояснить, указывая синонимы слова множество и приводя примеры множеств: множество - набор, совокупность, собрание каких-либо объектов (элементов), обладающих общим для всех их характеристическим свойством.
Объединением АВ множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В.
Символическая запись этого определения: А В={х | хА или хВ}.
Здесь союз или понимается в смысле неразделительного или, т.е. не исключается, что х может принадлежать и А и В. Отметим, что в таком случае элемент х, входящий в оба множества А и В, входит в их объединение только один раз (поскольку для множества не имеет смысла говорить о том, что элемент входит в него несколько раз).
Поясним определение объединения множеств с помощью диаграммы Эйлера-Венна:
На диаграмме объединение множеств А и В выделено штриховкой.
Если множество А определяется характеристическим свойством Р (х), а множество В - характеристическим свойством Q(х), то А В состоит из всех элементов, обладающих, по крайней мере, одним из этих свойств.
Примеры объединений двух множеств:
) Пусть А={2; 5; 7}, В={3; 5; 6}. Тогда А В ={2; 3; 5; 6; 7}.
) Пусть А=[-1/4; 2], В=[ -2/3; 7/4]. Тогда А В=[-2/3; 2] .
) Пусть А= {х | х=8k, k Z}, B={x | x=8n-4, n Z}.
Тогда A B ={x | 4m, mZ}.
Операция объединения множеств может проводиться не только над двумя множествами. Определение объединения множеств можно распространить на случай любого количества множеств и даже - на систему множеств. Система множеств определяется так: если каждому элементу б множества М отвечает множество Аб, то совокупность всех таких множеств мы будем называть системой множеств.
Объединением системы множеств {Аб} называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств Аб. При этом общие элементы нескольких множеств не различаются.
Таким образом, элемент х тогда и только тогда, когда найдется такой индекс б 0 М, что х A б0 .
В случае, когда М конечно и состоит из чисел 1, 2, … , n, применяется запись Если M=N, то имеем объединение последовательности множеств .
Рассмотрим ещё один пример: пусть М=(1; 2) и для каждого б є М определим множество Аб =[0;б]; тогда = [0;2).
Из определения операции объединения непосредственно следует, что она коммутативна, т.е. А1 A2 = A2 А1, и ассоциативна, т.е. (А1 A2) А3 = А1 (A2 А3).
C помощью диаграмм показать справедливость утверждения:
Доказательство тождества двух множеств основывается на определении равенства двух множеств: A = B , если A ? B и B ? A . Берётся любой элемент x , принадлежащий левой части равенства, и показывается,что он входит в правую часть, а затем наоборот.
Эти свойства вытекают из определения. Действительно, пусть x, тогда х и х,следовательно , x
Графическое решение справедливости утверждения
Задание 2. Перестановки. Число перестановок. Привести примеры
Решение:
Перестановки - различные упорядоченные множества, которые отличаются лишь порядком элементов (т.е. могут быть получены из того же самого множества).
Перестановки без повторений - различные упорядочивания данного n-множества, отличающиеся друг от друга лишь порядком входящих в них элементов.
Обозначается как Pn (от фр. "permutation" - перестановка) Число перестановок из n элементов по k вычисляется следующим образом:
=n!
Доказательство:
Будем последовательно выбирать элементы данного множества и размещать их в определенном порядке на n местах. На первое место можно поместить любой из n элементов, на второе любой из оставшихся, т.е. (n-1) элементов и т.д. По правилу произведения получим: .
Пример: Сколькими способами можно расположить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы они не могли бить друг друга?
Ясно, что при таком расположении на каждой горизонтали и каждой вертикали стоит по одной ладье. Возьмем одно из этих расположений и обозначим через номер занятого поля на первой горизонтали, через - на второй горизонтали, ..., через - на восьмой горизонтали. Тогда будет некоторой перестановкой из чисел 1, 2, ...,8 (ясно, что среди чисел нет ни одной пары одинаковых, так как иначе две ладьи попали бы на одну и ту же вертикаль).
Обратно, если - некоторая перестановка чисел 1, 2, ...,8, то ей соответствует некоторое расположение ладей , при котором они не могут бить друг друга. Например, на рисунке изображено расположение ладей, соответствующих перестановке 7 5 4 6 1 3 2 8.Таким образом, число искомых расположений ладей равно числу перестановок чисел 1, 2, ...,8, т.е. Р(8).Но. Значит ладьи можно расположить требуемым образом 40320 способами.
Сколько можно составить всевозможных перестановок из n элементов, в которых данные два элемента стоят рядом?
Определим число перестановок, в которых данные элементы (для определенности a и b) стоят рядом: a на первом месте, b на втором; a на втором месте, b на третьем; …; a на (n-1)-м месте, b на n-м - таких случаев n-1. Однако можно впереди ставить b, а затем a - таких случаев также n-1, т.е. существует 2(n-1) случаев, когда a и b стоят рядом. Каждому из этих случаев соответствует (n-2)! перестановок. Используя правило произведения, искомое решение можно записать в виде
.
Перестановка с повторениями ранее переставлялись предметы, которые