Математическая статистика
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
были попарно различны. Если же некоторые переставляемые предметы одинаковы, то получается меньше перестановок - некоторые перестановки совпадают друг с другом. В этом случае речь идет о перестановках с повторениями.
Перестановкой с повторениями состава из букв называют любой кортеж длины в который буква входит раз,..., буква -раз.
Пример:
Имеются предметы k различных типов. Сколько перестановок можно сделать из n1 элементов первого типа, ..., nk элементов k-го типа?
Число элементов в каждой перестановке равно .Поэтому если бы все элементы были различны, то число перестановок равнялось бы n!.Но из-за того, что некоторые элементы совпадают, получается меньшее число перестановок. Действительно, возьмем, например, перестановку в которой сначала вписаны все элементы первого типа, потом все элементы второго типа,..., наконец, все элементы k-го типа. Элементы первого типа можно переставлять друг с другом способами. Но так как все эти элементы одинаковы, то такие перестановки ничего не меняют. Точно так же не меняют перестановок элементов второго типа, ..., перестановок элементов k-го типа.
Перестановки элементов первого типа, второго типа, и т.д. можно делать независимо друг от друга. Поэтому (по правилу произведения) элементы перестановки можно переставлять друг с другом способами так, что она остается неизменной. То же самое верно и для любого другого расположения элементов. Поэтому множество всех n! перестановок распадается на части, состоящие из одинаковых перестановок каждая. Значит число различных перестановок с повторениями, которые можно сделать из данных элементов, равно
где .
множество вероятность математический ожидание
Итак, число перестановок с повторениями можно подсчитать по следующей формуле:
Задание 3
В коробке имеется 14 лампочек, из которых шесть по 100Вт, остальные по 60Вт. Найти вероятность того, что среди пяти наудачу извлеченных лампочек будет хотя бы одна на 60Вт.
Используем обозначения: X - группа лампочек, для которых вероятность равна шести по 100Вт: Y - группа лампочек, для которых вероятность равна 60Вт.
Выдвинем три гипотезы: Н1 - оба взятые лампочки из группы Х, Р(Н1) = 14/15*9/14; Н2 - взятые лампочки из разных групп, Р(Н2) = 2*14/15*5/14; Н3 - оба взятые лампочки из группы Y, Р(Н3) = 5/15*4/14. Пусть событие А - взятые наудачу пять лампочек, из которых одна будет 60Вт. По формуле полной вероятности получим
P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 14/15*9/14*0.9^2 + 2*14/15*5/14*0.9*0.95 + 5/15*4/14*0.95^2 = 0,8402 .
Задание 4
В первой урне 4 белых шара и 7 черных шаров, во второй -6 белых и 3 черных шара. Из первой урны во вторую перекладывают , не глядя, один шар а затем из второй урны берут один шар. Найти вероятность , что он белый.
Найдём вероятность противоположного события - все шары одного цвета. Вероятность суммы этих событий равна 2/10*1/9*3/8*2/7*5/6*4/5 + 2/10*1/9*5/8*4/7*3/6*2/5 + 3/10* 2/9*5/8*4/7*3/6*2/5 = 1/126 Поэтому ответ: 1 - 1/126 = 125/126
Задание 5
Стрелок стреляет по мишени 10 раз. Его вероятность попадания в десятку 0,7. Найти вероятность наивероятнейшего числа попаданий в десятку.
Решение:
Вероятность произведения двух событий (совместного появления этих событий) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило.
Также можно записать:
Доказательство этой теоремы непосредственно вытекает из определения условной вероятности.
Если события независимые, то , и теорема умножения вероятностей принимает вид:
В случае произведения нескольких зависимых событий вероятность равна произведению одного из них на условные вероятности всех остальных при условии, что вероятность каждого последующего вычисляется в предположении, что все остальные события уже совершились.
Из теоремы произведения вероятностей можно сделать вывод о вероятности появления хотя бы одного события.
Если в результате испытания может появиться п событий, независимых в совокупности, то вероятность появления хотя бы одного из них равна
Здесь событие А обозначает наступление хотя бы одного из событий Ai, а qi - вероятность противоположных событий .
Обозначим попадание в цель стрелком - событие А
Тогда:
Тогда вероятность, что стрелок попадет в мишень
Задание 6
Дискретная случайная величина Х задана законом распределения. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.
X2-46-8P0.110.520.130.04
Решение:
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.
Пусть случайная величина Х может принимать только значения х1, х2, х3,...,хn вероятности которых соответственно равны p1, p2, p3,...,pn. Тогда математическое ожидание М(х) случайной величины Х определяется равенством:
(x)=х1p1+х2p2+...+хnpn
Найдем математическое ожидание :
(x)=2х0.11+(-4)х0.52+6х0.13+(-8)х0,04=-1,04
Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.
(x)=M[X-M(x)]2(x)= 0.608х0.11+1,16х0.52+0,048Х0,13+1,74х0,04=1,365
Средним квадратичным отклонением случайной величины Х называют квадратный корень из дисперсии:
?(X)=vD(X)
?(X)=vD(X)=
Задание 7