Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Задание № 1. Даны точки А, В, С: А(5;6), В(4;-5), С(-4;5).
Построить: векторы и .
Найти: 1) векторы и ;
) модули векторов и ;
) скалярное произведение .
Решение:
.
.
.
Ответ: 1) ; ;
) ; ;
) .
Задание № 2. Даны точки А, В, С: А (5;6), В (4;-5), С (-4;5).
Найти: а) уравнение прямой АВ;
б) уравнение высоты АD;
в) уравнение прямой, проходящей через точку А параллельно прямой ВС.
Решение:
а) уравнение АВ:
.
б) уравнение высоты АD:
. уравнение ВС:
.
. угловой коэффициент :
.
. угловой коэффициент :
.
. уравнение AD:
.
в) уравнение прямой :
.
Ответ: а) ; б) ; в) .
Задание № 3. Дана система линейных уравнений:
Найти: а) определитель основной матрицы системы А;
б) обратную матрицу А-1;
в) решить систему линейных уравнений методом Крамера.
Решение: а)
.
б) А-1:
~ ~ ~ ~
, , .
, .
.
в)
,
,
.
,
.
Ответ: а) ; б) ; в) , .
Задание № 4. Решить систему линейных алгебраических уравнений
~ ~
Пусть в 1-ом уравнении базисная, тогда элемент - разрешающий. Первая строка, третий столбец - разрешающие. Разделим элементы разрешающей строки на разрешающий элемент (). Запишем разрешающую строку после этого преобразования.
, , , .
, , , .
Пусть в 3-ем уравнении базисная, тогда элемент - разрешающий. Третья строка, первый столбец - разрешающие. Разделим элементы разрешающей строки на разрешающий элемент (). Запишем разрешающую строку после этого преобразования.
, , .
, , .
~
Запишем эквивалентную систему линейных уравнений:
Ответ: , , .
Задание № 5. Выполнить действия с матрицами:
а) ; б) .
Решение:
а) .
б) .
Ответ: а) ; б) .
Задание № 6. Решить задачу линейного программирования:
Предприятие планирует выпуск двух продукций I и II, на производство которых расходуется три вида сырья А, В, С. Потребность на каждую единицу -го вида продукции -го вида сырья, запас соответствующего вида сырья и прибыль от реализации единицы -го вида продукции заданы таблицей:
Виды сырьяВиды продукцииЗапасы сырьяIIIАВСПрибыльПлан, ед.
Для производства двух видов продукции I и II с планом и единиц составить целевую функцию прибыли и соответствующую систему ограничений по запасам сырья, предполагая, что требуется изготовить в сумме не менее n единиц обоих видов продукции.
В условиях задачи 1 составить оптимальный план (,) производства продукции, обеспечивающей максимальную прибыль . Определить остатки каждого вида сырья. (Задачу решить симплекс-методом).
Построить по полученной системе ограничений многоугольник допустимых решений и найти оптимальный план производства геометрическим путем. Определить соответствующую прибыль .
Решение:
Пусть предприятие производит единиц продукции I и единиц продукции II. Тогда задачу линейного программирования на максимум можно записать следующим образом:
> - целевая функция.
Ограничения по ресурсам:
А:
В:
С:
Введем в каждое неравенство дополнительную балансовую переменную со знаком +, получим систему ограничений в виде системы линейных уравнений:
Для нахождения первоначального базисного решения разобьем переменные на основные (базисные) и неосновные (свободные):
Запишем расширенную матрицу системы размером .
На первом этапе за основные можно принять , , . Если выбранные по этому правилу базисные переменные имеют те же знаки, что и соответствующие им свободные члены, то полученные базисные решения будут допустимыми.
Основные переменные: , , .
Неосновные переменные: , .
Выразим основные переменные через неосновные
Запишем первое базисное решение, приравняв неосновные переменные к 0, т. е. , .
- это решение является допустимым.
Выразим целевую функцию через неосновные переменные
>
Функцию можно увеличить за счет увеличения любой из неосновных переменных, входящих в выражение для с положительными коэффициентами. Для определенности выберем . Исходя из условия неотрицательности переменных, из системы можно выбрать наиболее возможное значение переменной :
При переменная обращается в 0 и переходит в неосновные переменные, а - в основные.
Основные: , , .
Неосновные: , .
Выразим новые основные переменные через новые неосновные, начиная с разрешающего уравнения для :
Таким образом, получим новую систему:
Запишем второе базисное решение:
- допустимое решение.
Выразим целевую функцию через новые неосновные переменные:
>
Полученное базисное решение не является оптимальным, поскольку возможно дальнейшее увеличение целевой функции за счет переменной , имеющей положительный коэффициент. Из системы следует, что наиболее возможное значение для :
Второе уравнение системы является разрешающим, при этом переменная переходит в основные, а - в неосновные.
Основные: , , .
Неосновные: , .
Выразим новые основные переменные через новые неосновные, начиная с разрешающего для :
Таким образом получим систему.
Запишем третье базисное решение:
Выразим целевую функцию через новые неосновные переменные: