Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Контрольная работа - Математика и статистика

Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

 

Задание № 1. Даны точки А, В, С: А(5;6), В(4;-5), С(-4;5).

Построить: векторы и .

Найти: 1) векторы и ;

) модули векторов и ;

) скалярное произведение .

Решение:

 

 

.

.

.

Ответ: 1) ; ;

) ; ;

) .

 

Задание № 2. Даны точки А, В, С: А (5;6), В (4;-5), С (-4;5).

Найти: а) уравнение прямой АВ;

б) уравнение высоты АD;

в) уравнение прямой, проходящей через точку А параллельно прямой ВС.

Решение:

 

 

а) уравнение АВ:

.

б) уравнение высоты АD:

. уравнение ВС:

.

. угловой коэффициент :

.

. угловой коэффициент :

.

. уравнение AD:

.

в) уравнение прямой :

.

Ответ: а) ; б) ; в) .

 

Задание № 3. Дана система линейных уравнений:

Найти: а) определитель основной матрицы системы А;

б) обратную матрицу А-1;

в) решить систему линейных уравнений методом Крамера.

Решение: а)

.

б) А-1:

~ ~ ~ ~

, , .

, .

.

в)

,

,

.

,

.

Ответ: а) ; б) ; в) , .

 

Задание № 4. Решить систему линейных алгебраических уравнений

~ ~

Пусть в 1-ом уравнении базисная, тогда элемент - разрешающий. Первая строка, третий столбец - разрешающие. Разделим элементы разрешающей строки на разрешающий элемент (). Запишем разрешающую строку после этого преобразования.

, , , .

, , , .

Пусть в 3-ем уравнении базисная, тогда элемент - разрешающий. Третья строка, первый столбец - разрешающие. Разделим элементы разрешающей строки на разрешающий элемент (). Запишем разрешающую строку после этого преобразования.

 

, , .

, , .

~

Запишем эквивалентную систему линейных уравнений:

Ответ: , , .

 

Задание № 5. Выполнить действия с матрицами:

а) ; б) .

Решение:

а) .

б) .

Ответ: а) ; б) .

Задание № 6. Решить задачу линейного программирования:

Предприятие планирует выпуск двух продукций I и II, на производство которых расходуется три вида сырья А, В, С. Потребность на каждую единицу -го вида продукции -го вида сырья, запас соответствующего вида сырья и прибыль от реализации единицы -го вида продукции заданы таблицей:

 

Виды сырьяВиды продукцииЗапасы сырьяIIIАВСПрибыльПлан, ед.

Для производства двух видов продукции I и II с планом и единиц составить целевую функцию прибыли и соответствующую систему ограничений по запасам сырья, предполагая, что требуется изготовить в сумме не менее n единиц обоих видов продукции.

В условиях задачи 1 составить оптимальный план (,) производства продукции, обеспечивающей максимальную прибыль . Определить остатки каждого вида сырья. (Задачу решить симплекс-методом).

Построить по полученной системе ограничений многоугольник допустимых решений и найти оптимальный план производства геометрическим путем. Определить соответствующую прибыль .

Решение:

Пусть предприятие производит единиц продукции I и единиц продукции II. Тогда задачу линейного программирования на максимум можно записать следующим образом:

> - целевая функция.

Ограничения по ресурсам:

А:

В:

 

С:

Введем в каждое неравенство дополнительную балансовую переменную со знаком +, получим систему ограничений в виде системы линейных уравнений:

Для нахождения первоначального базисного решения разобьем переменные на основные (базисные) и неосновные (свободные):

Запишем расширенную матрицу системы размером .

На первом этапе за основные можно принять , , . Если выбранные по этому правилу базисные переменные имеют те же знаки, что и соответствующие им свободные члены, то полученные базисные решения будут допустимыми.

Основные переменные: , , .

Неосновные переменные: , .

Выразим основные переменные через неосновные

 

 

Запишем первое базисное решение, приравняв неосновные переменные к 0, т. е. , .

- это решение является допустимым.

Выразим целевую функцию через неосновные переменные

>

Функцию можно увеличить за счет увеличения любой из неосновных переменных, входящих в выражение для с положительными коэффициентами. Для определенности выберем . Исходя из условия неотрицательности переменных, из системы можно выбрать наиболее возможное значение переменной :

При переменная обращается в 0 и переходит в неосновные переменные, а - в основные.

Основные: , , .

Неосновные: , .

Выразим новые основные переменные через новые неосновные, начиная с разрешающего уравнения для :

Таким образом, получим новую систему:

Запишем второе базисное решение:

- допустимое решение.

Выразим целевую функцию через новые неосновные переменные:

>

Полученное базисное решение не является оптимальным, поскольку возможно дальнейшее увеличение целевой функции за счет переменной , имеющей положительный коэффициент. Из системы следует, что наиболее возможное значение для :

Второе уравнение системы является разрешающим, при этом переменная переходит в основные, а - в неосновные.

Основные: , , .

Неосновные: , .

Выразим новые основные переменные через новые неосновные, начиная с разрешающего для :

Таким образом получим систему.

 

Запишем третье базисное решение:

Выразим целевую функцию через новые неосновные переменные: