Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
> .
Это выражение не содержит положительных коэффициентов при неосновных переменных, поэтому значение функции максимальное.
Экономический смысл полученного решения: прибыль предприятия максимальна при реализации единиц продукции I и единиц продукции II. Дополнительные переменные , , показывают остатки ресурсов. При оптимальном плане производства , т. е. остатки ресурсов А и В равны 0, а остатки ресурса С равны 3 и 5 единицам соответственно.
. Поскольку переменные , ,то допустимые планы будут располагаться в I четверти координатной плоскости.
Ограничение определяет полуплоскость. Для ее определения построим прямую : . Определим координаты 2-х точек на этой прямой.
Т. 1020Т. 280
Для определения полуплоскости задаваемой неравенством возьмем произвольную точку не лежащую на прямой. Удобно взять точку О (0;0). Координаты этой точки удовлетворяют неравенству: . Таким образом, неравенство задает полуплоскость содержащую т. О (0;0).
Рассмотрим неравенство. Прямая : .
Т. 1012Т. 2120
Для определения полуплоскости выберем т. О (0;0), которая удовлетворяет неравенству: .
Рассмотрим ограничение. Прямая : .
Т. 109Т. 2150
Для определения полуплоскости выберем т. О (0;0), которая удовлетворяет неравенству: .
Таким образом, получена замкнутая область, замкнутый четырехугольник ОАВС - область допустимых планов или область допустимых решений.
Рассмотрим целевую функцию . Известно, что данная функция задает прямую линию, а само выражение представляет собой скалярное произведение вектора и перпендикулярного ему вектора . Для всех точек какой-либо прямой перпендикулярной целевая функция имеет одно и то же значение. Возрастание целевой функции происходит в положительном направлении . Построим вектор и перпендикулярную ему прямую . Так как в задаче необходимо найти целевой функции, то последней общей точкой (точкой выхода) прямой из ОДР будет являться точка В. Таким образом, оптимальное решение находится в вершине В, находящейся на пересечении прямых и , т. е. координаты точки В определяются решением системы уравнений:
Решение этой системы , . При этом значение целевой функции . Таким образом, максимальная прибыль в размере денежных единиц может быть достигнута при производстве единиц продукции I и единиц продукции II.
Задание № 7. Решить транспортную задачу.
На складах , , хранится , , единиц одного и того же груза. Этот груз требуется доставить трем потребителям , , , заказы которых составляют , , единиц груза соответственно. Стоимости перевозок единицы груза с -го склада -му потребителю указаны в соответствующих клетках транспортной таблицы:
424553156
Суммарная мощность поставщиков равна:
Суммарный спрос потребителей равен:
Модель данной транспортной задачи - открытая. Введем фиктивного потребителя со спросом единиц. Стоимость перевозки единицы груза до фиктивного потребителя равна 0. Получаем закрытую модель.
ПоставщикиПотребители1901204060100424020055301101560
Решаем ее распределительным методом. Воспользуемся методом минимальной стоимости.
Шаг № 1. Заполняем клетку с нулевой стоимостью, например, клетку (1, 4). . Исключаем четвертый столбец.
Шаг № 2. Заполняем клетку (3, 2). . Исключаем третью строку.
Шаг № 3. Заполняем клетку (1, 1). . Исключаем первую строку.
Шаг № 4. Заполняем клетку (2, 1). . Исключаем первый столбец.
Шаг № 5. Заполняем клетку (2, 3). . Исключаем третий столбец и вторую строку.
Проверяем выполнение условия .
Тогда начальный опорный план имеет вид:ПоставщикиПотребители19012040601004 402 40 602005 1505 103 40011015 11060
Для этого плана находим оценки строк и столбцов.
ПоставщикиПотребители19012040601004 402 40 60-42005 1505 103 400-511015 11060-500-2-4-
Затем получим матрицу оценок клеток:
План является неоптимальным, так как имеются клетки с отрицательными оценками. Выбираем клетку (3, 1), имеющую большую по абсолютной величине оценку, и строим для нее цикл пересчета: (3, 1) - (2, 1) - (2, 2) - (3, 2).
. Клетка (3, 1) становится отмеченной, а клетка (3, 2) становится пустой. Составим новый план поставок, для которого находим оценки строк и столбцов.
ПоставщикиПотребители19012040601004 402 40 60-42005 405 1203 400-51101 1105 60-100-2-4-
Получим матрицу оценок клеток:
План является неоптимальным, так как имеются клетки с отрицательными оценками. Выбираем клетку (1, 2), имеющую большую по абсолютной величине оценку, и строим для нее цикл пересчета: (1, 2) - (1, 1) - (2, 1) - (2, 2).
. Клетка (1, 2) становится отмеченной, а клетка (1, 1) становится пустой. Составим новый план поставок, для которого находим оценки строк и столбцов.
ПоставщикиПотребители19012040601004 2 40 40 60-22005 805 803 400-51101 1105 60-100-2-2-
Получим матрицу оценок клеток:
План является неоптимальным, так как имеются клетки с отрицательными оценками. Выбираем клетку (2, 4), имеющую большую по абсолютной величине оценку, и строим для нее цикл пересчета: (2, 4) - (1, 4) - (1, 2) - (2, 2).
. Клетка (2, 4) становится отмеченной, а клетка (1, 4) становится пустой. Составим новый план поставок, для которого находим оценки строк и столбцов.
ПоставщикиПотребители19012040601004 2 100 40 -22005 805 203 400 60-51101 1105 60-100-2-5-
Получим матрицу оценок клеток:
Матрица оценок не содержит отрицательных чисел. Таким образом, получен оптимальный план поставок, который окончательно можно представить в виде таблицы
ПоставщикиПолучатели190120401002 1002005 8