Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Контрольная работа - Математика и статистика

Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика

> .

Это выражение не содержит положительных коэффициентов при неосновных переменных, поэтому значение функции максимальное.

Экономический смысл полученного решения: прибыль предприятия максимальна при реализации единиц продукции I и единиц продукции II. Дополнительные переменные , , показывают остатки ресурсов. При оптимальном плане производства , т. е. остатки ресурсов А и В равны 0, а остатки ресурса С равны 3 и 5 единицам соответственно.

. Поскольку переменные , ,то допустимые планы будут располагаться в I четверти координатной плоскости.

Ограничение определяет полуплоскость. Для ее определения построим прямую : . Определим координаты 2-х точек на этой прямой.

 

Т. 1020Т. 280

Для определения полуплоскости задаваемой неравенством возьмем произвольную точку не лежащую на прямой. Удобно взять точку О (0;0). Координаты этой точки удовлетворяют неравенству: . Таким образом, неравенство задает полуплоскость содержащую т. О (0;0).

Рассмотрим неравенство. Прямая : .

 

Т. 1012Т. 2120

Для определения полуплоскости выберем т. О (0;0), которая удовлетворяет неравенству: .

Рассмотрим ограничение. Прямая : .

 

Т. 109Т. 2150

Для определения полуплоскости выберем т. О (0;0), которая удовлетворяет неравенству: .

Таким образом, получена замкнутая область, замкнутый четырехугольник ОАВС - область допустимых планов или область допустимых решений.

Рассмотрим целевую функцию . Известно, что данная функция задает прямую линию, а само выражение представляет собой скалярное произведение вектора и перпендикулярного ему вектора . Для всех точек какой-либо прямой перпендикулярной целевая функция имеет одно и то же значение. Возрастание целевой функции происходит в положительном направлении . Построим вектор и перпендикулярную ему прямую . Так как в задаче необходимо найти целевой функции, то последней общей точкой (точкой выхода) прямой из ОДР будет являться точка В. Таким образом, оптимальное решение находится в вершине В, находящейся на пересечении прямых и , т. е. координаты точки В определяются решением системы уравнений:

Решение этой системы , . При этом значение целевой функции . Таким образом, максимальная прибыль в размере денежных единиц может быть достигнута при производстве единиц продукции I и единиц продукции II.

 

Задание № 7. Решить транспортную задачу.

На складах , , хранится , , единиц одного и того же груза. Этот груз требуется доставить трем потребителям , , , заказы которых составляют , , единиц груза соответственно. Стоимости перевозок единицы груза с -го склада -му потребителю указаны в соответствующих клетках транспортной таблицы:

 

424553156

Суммарная мощность поставщиков равна:

Суммарный спрос потребителей равен:

Модель данной транспортной задачи - открытая. Введем фиктивного потребителя со спросом единиц. Стоимость перевозки единицы груза до фиктивного потребителя равна 0. Получаем закрытую модель.

 

ПоставщикиПотребители1901204060100424020055301101560

Решаем ее распределительным методом. Воспользуемся методом минимальной стоимости.

Шаг № 1. Заполняем клетку с нулевой стоимостью, например, клетку (1, 4). . Исключаем четвертый столбец.

Шаг № 2. Заполняем клетку (3, 2). . Исключаем третью строку.

Шаг № 3. Заполняем клетку (1, 1). . Исключаем первую строку.

Шаг № 4. Заполняем клетку (2, 1). . Исключаем первый столбец.

Шаг № 5. Заполняем клетку (2, 3). . Исключаем третий столбец и вторую строку.

Проверяем выполнение условия .

Тогда начальный опорный план имеет вид:ПоставщикиПотребители19012040601004 402 40 602005 1505 103 40011015 11060

Для этого плана находим оценки строк и столбцов.

 

ПоставщикиПотребители19012040601004 402 40 60-42005 1505 103 400-511015 11060-500-2-4-

Затем получим матрицу оценок клеток:

План является неоптимальным, так как имеются клетки с отрицательными оценками. Выбираем клетку (3, 1), имеющую большую по абсолютной величине оценку, и строим для нее цикл пересчета: (3, 1) - (2, 1) - (2, 2) - (3, 2).

 

. Клетка (3, 1) становится отмеченной, а клетка (3, 2) становится пустой. Составим новый план поставок, для которого находим оценки строк и столбцов.

 

ПоставщикиПотребители19012040601004 402 40 60-42005 405 1203 400-51101 1105 60-100-2-4-

Получим матрицу оценок клеток:

План является неоптимальным, так как имеются клетки с отрицательными оценками. Выбираем клетку (1, 2), имеющую большую по абсолютной величине оценку, и строим для нее цикл пересчета: (1, 2) - (1, 1) - (2, 1) - (2, 2).

 

 

. Клетка (1, 2) становится отмеченной, а клетка (1, 1) становится пустой. Составим новый план поставок, для которого находим оценки строк и столбцов.

ПоставщикиПотребители19012040601004 2 40 40 60-22005 805 803 400-51101 1105 60-100-2-2-

Получим матрицу оценок клеток:

План является неоптимальным, так как имеются клетки с отрицательными оценками. Выбираем клетку (2, 4), имеющую большую по абсолютной величине оценку, и строим для нее цикл пересчета: (2, 4) - (1, 4) - (1, 2) - (2, 2).

 

 

. Клетка (2, 4) становится отмеченной, а клетка (1, 4) становится пустой. Составим новый план поставок, для которого находим оценки строк и столбцов.

 

ПоставщикиПотребители19012040601004 2 100 40 -22005 805 203 400 60-51101 1105 60-100-2-5-

Получим матрицу оценок клеток:

Матрица оценок не содержит отрицательных чисел. Таким образом, получен оптимальный план поставок, который окончательно можно представить в виде таблицы

 

ПоставщикиПолучатели190120401002 1002005 8