Краевые задачи остывания нагретых тел

(2.3.6)

Если искать ее решение в виде

v (r, z) = R (r) Z (z),

то для функции Z (z) получим задачу Штурма - Лиувилля

(2.3.7)

которая имеет дискретный набор собственных значений

(2.3.8)

и собственных функций

(2.3.9)

Для функции R (r) соответствующая задача на собственные значения примет вид

(2.3.10)

Здесь - некоторая пока еще неизвестная постоянная.

Если ввести новое переменное и обозначить, то для определения функции у (х) получим дифференциальное уравнение Бесселя нулевого порядка

(2.3.11)

Его общее решение

у (х) = A J0 (x) + В N0 (x) (2.3.12)

содержит функции Бесселя J0 (x) и Неймана N0 (x) нулевого порядка, представляющие собой фундаментальную систему линейно независимых решений уравнения Бесселя нулевого порядка. На рис.2 приведены качественные графики этих функций.

Рис.2. Графики функции Бесселя J0 (x) и Неймана N0 (x) нулевого порядка.

Как следует из графиков, функция Бесселя ограничена при х = 0, точнее J0 (0) = 1, а функция Неймана неограниченно растет по модулю при х > 0.

Заменяя х на r, запишем общее решение уравнения (2.3.12) как

. (2.3.13)

Условие ограниченности функции R (r) при r = 0 дает В = 0. Полагая затем в уравнении (2.3.13) r = , получаем

(2.3.14)

Это трансцендентное уравнение при А ? 0 имеет счетное множество положительных корней , которые являются нулями функции J0 (x) (см. рис.1). Приведем несколько первых значений .

Отметим, что с возрастанием номера m разность значений двух соседних корней стремится к ?. Действительно, например, = 3,1405. Это свойство корней функции Бесселя J0 (x) вытекает из асимптотической формулы

Таким образом, задача (2.3.10) имеет бесчисленное множество собственных значений

которым соответствуют собственные функции

Докажем, что эти функции ортогональны на отрезке [0, ?] с некоторым весом ? (r) = r. Для этого запишем уравнения, которым удовлетворяют две собственные функции и :

Умножим первое из уравнений на, а второе - на . Тогда после вычитания второго соотношения из первого получим

.

Интегрируя это равенство по r в пределах от 0 до r, будем иметь

Так как =, a =, то по свойству бесселевых функций

; ,

где - функция Бесселя первого порядка.

Следовательно,

(2.3.15)

Если верхний предел интегрирования выбрать равным , то, учитывая, что = = 0, из уравнения (2.3.15) получаем условие ортогональности

которое согласуется с выводами теории задачи Штурма - Лиувилля.

Совершим теперь в уравнении (2.3.15) предельный переход. Правая часть равенства (2.3.15) при этом дает неопределенность 0/0. Раскрывая ее дифференцированием по и последующей подстановкой, получаем

(2.3.16)

Так как = 0, то, положив в уравнении (26) r =r0, получаем выражение для квадрата нормы

(2.3.17)

Таким образом, доказано, что нетривиальные решения задачи (2.3.6) существуют только при

Этим собственным значениям соответствуют собственные функции

В итоге с учетом соотношений (2.2.8) и (2.2.10) получим решение задачи об остывании ограниченного цилиндра в виде двойного ряда

(2.3.18)

с коэффициентами

(2.3.19)

которые определяются заданным начальным распределением температуры.

Регулярный режим остывания для достаточно больших значений t описывается одним членом ряда (2.3.18):

,

где - коэффициент температуропроводности материала, из которого выполнен цилиндр; Н и - геометрические размеры цилиндра.

Заключение

В рамках данного курсового проекта была рассмотрена постановка краевых задач остывания нагретых тел, в частности, остывание однородного шара, прямоугольного параллелепипеда и цилиндра.

В данной работе исследован метод разделения переменных Фурье для уравнения теплопроводности. Как видно из рассмотренных примеров, основная трудность при решении задач об остывании нагретых тел состоит в нахождении собственных функций и собственных значений для данной области. Отметим, что форма решения, полученная методом разделения переменных, удобна для исследования достаточно развитой стадии процесса при больших t.

Список используемой литературы

1.Араманович И.Г. Уравнения математической физики. /И.Г. Араманович, В.И. Левин - М.: Наука, 1969. - 288 с.

2.Байков В.А., Жибер А.В. Уравнения математической физики. / В.А. Байков, А.В. Жибер - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003 - 252 с.

.Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики. / Л.К. Мар

• Назад
• 1
• 2
• 3
• 4
• 5
• Далее