Краевые задачи остывания нагретых тел
Дипломная работа - Физика
Другие дипломы по предмету Физика
k - коэффициент теплопроводности, который мы считаем постоянным.
Обратим особое внимание. на роль знака "минус" в формуле (1.2.1). Условимся считать величину теплового потока положительной, если направление потока тепла совпадает с выбранным направлением нормали, и отрицательной, если оно ему противоположно. Для нормали, совпадающей с направлением градиента, тепло же переходит от более нагретых участков к менее нагретым, т.е. как раз в противоположную сторону, и, следовательно. по определению, ?Q 0 и опять-таки знак "минус" сохраняется.
теплопроводность нагретое тело уравнение
В линейном случае изотермическими поверхностями являются сечения стержня, перпендикулярные оси Ох; нормаль к ним совпадает с осью Ох, и (если направление нормали совпадает с положительным направлением оси Ох).
В теории теплопроводности доказывается, что формула (1.2.1) для величины теплового потока справедлива для любых поверхностей (не только для изотермических). Производная по направлению нормали к выбранной поверхности равна проекции градиента на эту нормаль, т.е. скалярному произведению grad u на единичный вектор нормали n:
grad u n
Поэтому поток тепла через участок ?? любой поверхности за время ?t будет равен
grad u n
Для краткости назовем вектор - k grad u вектором теплового потока и обозначим через А:
A = - k grad u
Тогда ?Q есть поток вектора А через элементарную площадку ?? за время ?t:
Если теперь выделить в теле некоторую часть, ограниченную замкнутой поверхностью - S, то поток тепла изнутри через эту замкнутую поверхность за время ?t будет равен произведению потока вектора A на ?t:
(1.2.2)
рис.1.
где Ап - проекция А на внешнюю нормаль (рис.1).
Поток Q будет положительным, если выбранная часть тела теряет тепло, и отрицательным, если приобретает.
Применяя к интегралу в формуле (1.2.2) теорему Гаусса - Остроградского, запишем, что
где V - часть тела, ограниченная поверхностью S, и
где - оператор Лапласа.
Таким образом, количество тепла Q, приобретенное выделенной частью тела за счет прохождения теплового потока, будет равно (оно противоположно по знаку величине Q)
Предположим, далее, что в теле имеются тепловые источники, плотность которых характеризуется функцией F (x, у, z, t). Тогда за промежуток времени (t, t +? t) в выбранной части тела выделится тепло Q2, равное (с точностью до бесконечно малых высшего порядка)
Общее количество тепла, сообщенного выделенному объему V, будет равно сумме Ql+-Q2. Подсчитаем теперь это тепло иначе, учитывая изменение температуры в точках тела, лежащих внутри поверхности S. В точке (х, у, z) за промежуток времени ? t температура изменится на величину
Поэтому элементарному объему ?v для такого изменения температуры потребуется количество тепла, равное , где с - удельная теплоемкость, r - плотность, а всему объему - количество
которое должно быть равно сумме Ql+-Q2. Следовательно,
Перенося все слагаемые в левую часть, приходим к равенству
(1.2.3)
Равенство (1.2.3) должно соблюдаться для любой части тела V. Это возможно только тогда, когда в каждой точке внутри тела
= 0 (1.2.4)
Это заключение справедливо, когда все слагаемые в левой части равенства (1.2.4) - непрерывные функции. Действительно, если предположить, что в точке М (х, у, r) равенство (1.2.4) нарушается, т.е., например, , то в силу непрерывности это же неравенство будет соблюдаться и в некоторой области ?, окружающей точку М. Но тогда интеграл по этой области, вопреки условию (1.2.3), был бы величиной положительной.
Переписав равенство (1.2.4) в виде
(1.2.5)
получим основное уравнение теплопроводности (а= - коэффициент температуропроводности). Если тепловые источники внутри тела отсутствуют, то F= 0 и уравнение становится однородным:
(1.2.6)
Еще раз отметим, что уравнения (1.2.5) и (1.2.6) выведены в предположении, что все физические величины, характеризующие свойства тела (плотность, удельная теплоемкость, коэффициент теплопроводности), постоянны.
Ясно, что уравнение линейной теплопроводности является частным случаем уравнения (1.2.6).
2. Краевые задачи остывания нагретых тел
2.1 Постановка задачи
Одним из важных классов нестационарных задач теплопроводности являются задачи остывания нагретых тел. В этих задачах изучают эволюцию температурного поля в ограниченном теле, занимающем некоторую область пространства, если в момент времени t = 0 задано начальное распределение температуры в теле, а температуру граничной поверхности тела ? при t ? 0 поддерживают постоянной. Без ограничения общности температуру поверхности тела можно выбрать равной нулю.
Из физической постановки такой задачи следует, что в отсутствие объемных тепловых источников будет происходить остывание тела, т.е. u (М, t) > 0 при t > ? в любой точке. Характерное время остыван?/p>