Краевые задачи остывания нагретых тел
Дипломная работа - Физика
Другие дипломы по предмету Физика
?я должно зависеть от формы тела, его размеров и теплофизических характеристик материала.
2.2 Схема метода разделения переменных Фурье
Математическая модель процесса остывания тела из однородного материала, основанная на уравнении теплопроводности при , может быть записана в виде следующей краевой задачи для нахождения температурного поля u (М, t) в остывающем теле:
(2.2.1)
(2.2.2)
(2.2.3)
Задачу (2.2.1-2.2.3) можно решать методом Фурье (разделения переменных), представляя частное решение уравнения (2.2.1), удовлетворяющее граничному условию (2.2.3), в виде произведения
u (М, t) =v (M) T (t). (2.2.4)
Подставляя (2.2.4) в уравнение (2.2.1), после разделения переменных получим
(2.2.5)
Отсюда находим уравнение для функции T (t)
(2.2.6)
общее решение которого
Для функции v (M) из уравнения (2.2.5) с учетом однородного граничного условия (2.2.3) получим задачу на собственные значения
(2.2.7)
Задача (2.2.7) имеет дискретный набор (спектр) собственных значений и собственных функций . В классе функций, обращающихся в нуль на ?, система собственных функций образует полную ортогональную систему функций.
Таким образом, можно построить набор частных решений вида (2.2.4)
суперпозиция которых образует ряд
(2.2.8)
который представляет собой решение уравнения (2.2.1), удовлетворяющее граничному условию (2.2.3).
Выберем теперь постоянные в (2.2.8) так, чтобы удовлетворить начальному условию (2.2.2). Полагая в (2.2.8) t =0, получаем
(2.2.9)
В соответствии с теоремой Стеклова, в этом разложении функции ? (M) в ряд по собственным функциям задачи (2.2.7) коэффициенты могут быть найдены по формулам
(2.2.10)
где норма собственных функций
Каждый член ряда (2.2.8) экспоненциально убывает со временем, причем для достаточно больших значений t первый член ряда преобладает над суммой остальных членов, так как собственные значения растут с увеличением номера n. Поэтому для остывающего тела через некоторое время устанавливается регулярный режим, который хорошо описывается первым членом разложения (2.2.8). При этом в качестве характерного времени остывания тела, характеризующего темп охлаждения, можно выбрать величину , где - первое минимальное собственное значение задачи (2.2.7).
Этот факт положен в основу нестационарных методов определения коэффициента температуропроводности. В самом деле, измеряя температуру тела в произвольной точке М0, находим, что
график этой функции изображается, начиная с некоторого момента времени, прямой линией с угловым коэффициентом . Зная величину , зависящую от формы, можно найти коэффициент температуропроводности.
Ниже рассмотрены примеры решения задач остывания тел правильной формы, когда задача (2.2.7) может быть решена точно в аналитическом виде. В этих задачах собственные значения и собственные функции зависят от нескольких целочисленных параметров. Поэтому суммирование в формулах (2.2.8) и (2.2.9) следует понимать как суммирование по всем этим параметрам.
2.3 Примеры решения задач
Пример 1. Рассмотрим задачу об остывании однородного шара радиуса R, имеющего некоторую начальную температуру, зависящую только от расстояния r точки от центра шара, если на его поверхности поддерживается температура равная нулю.
В этом случае задача приводится к интегрированию уравнения теплопроводности
при начальном условии
и при граничном условии
Согласно методу разделения переменных задача на собственные значения (2.2.7) имеет вид
Полагая w = rv, приходим к следующей задаче:
Собственные значения и собственные функции краевой задачи, как известно, даются формулами:
Таким образом,
далее, удовлетворяя начальному условию, находим согласно (2.2.10)
Следовательно, решение задачи вычисляется по формуле
Пример 2. Пусть тело представляет собой прямоугольный параллелепипед со сторонами , и , занимающий в пространстве область ? = { (х, у, z): 0 < х < , 0 < у < ,0 < z < }. Тогда задача (2.2.7) для функции v (x, у, z) примет вид
; (2.3.1)
(2.3.2)
Собственные функции этой задачи будем искать методом разделения переменных, представляя эти функции в виде произведения:
v (x,y,z) =X (x) Y (y) Z (z). (2.3.3)
Подставляя (2.3.3) в уравнение (2.3.1), получаем
откуда с учетом граничных условий приходим к трем задачам Штурма - Лиувилля на собственные значения:
Эти задачи имеют следующие нетривиальные решения:
В итоге для задачи (2.3.1), (2.3.2) находим собственные значения
и соответствующие им собственные функции
.
Поскольку собственные функции зависят от трех целочисленных параметров n, m и k, функция u (х, у, z, t), записанная в виде тройного тригонометрического ряда
(2.3.4)
с коэффициентами
(2.3.5)
в силу (2.2.8) - (2.2.10) является решением задачи остывания прямоугольного параллелепипеда (пластины) конечных размеров.
Пример 3. Рассм?/p>