Исследование системы автоматического управления с нелинейным элементом
Дипломная работа - Компьютеры, программирование
Другие дипломы по предмету Компьютеры, программирование
.
Модуль частотной передаточной функции нелинейного звена
.
Фазочастотная характеристика
; ()
Модуль определяет отношение амплитуд, а фазовый сдвиг на выходе относительно входного сигнала.
Если симметрична относительно начала координат, однозначна и не имеет гистерезиса, то и тогда
.
Часто при анализе используется величина обратная . Она называется гармоническим импедансом нелинейного звена:
.
В соответствии с критерием Найквиста строится годограф частотной передаточной функции разомкнутой системы
Условием возникновения в системе колебаний является прохождение амплитудно-фазовой характеристики через точку (-1,j0) комплексной плоскости. Для определения условий прохождения годографа через эту точку приравняем
.
Чтобы решить это уравнение можно, задавая значение амплитуды, строить амплитудно-фазовую характеристику(рис.3) Значение амплитуды а=А, при которой АФХ пройдет через точку (-1,j0) будет соответствовать амплитуде собственных колебаний. Значение частоты определяют по частоте в точке (-1,j0).
При нелинейной зависимости вида передаточную функцию разомкнутой системы можно представить в виде
.
Это уравнение решается графическим методом. Строим амплитудно-фазовую характеристику линейного звена и кривую импеданса нелинейного звена. Определяем точку пересечения. Частоту определим по АФХ линейного звена в точке пересечения. Амплитуду А определим по кривой импеданса нелинейного звена.
Итак, для анализа наличия собственных колебаний в системе необходимо построить следующие функции
.
Поскольку необходимо построение и анализ двух сложных функций, двух переменных, а также при различных значениях параметра t5, то целесообразно воспользоваться средством компьютерного моделирования МаthCad 14. Вначале определим исходные данные:
где а - значения амплитуды колебаний, w=2pf - значения круговой частоты, а1, с - параметры нелинейности, К1, К2, К3, t1, t2, t3, t4, t5, - коэффициенты и параметры передаточной функция линейного звена.
Затем определим функции (21) и (22):
При определении передаточной функции линейного звена К_L(w,j) использована дополнительная переменная j для выбора значения параметра t5, при определении мнимой единицы использован символ i.
Построим годографы звеньев и проанализируем на предмет пересечения (рис 7).
По оси Y отложена мнимая составляющая передаточной функции, по оси Х - действительная составляющая.
Рис.7. Годографы нелинейного и линейного блоков..
Как видно из графиков, годографы НЭ и линейного блока пересекаются, т.е. система неустойчива.
. Определение параметров автоколебаний в системе, используя логарифмические характеристики системы
Благодаря методу гармонической линеаризации становится возможным применение частотных методов для исследования нелинейных систем. Задача исследования устойчивости упрощается, если пользоваться логарифмическими частотными характеристиками.
Запишем в показательной форме:
,
где - модуль
- аргумент
Введём относительную амплитуду
,
где - нормирующий множитель
- нормирующий коэффициент
Общая комплексная передаточная функция нелинейной системы в разомкнутом состоянии:
Предположим, что замкнутая нелинейная система находится на границе устойчивости и в ней имеют место незатухающие колебания. АФХ разомкнутой системы в этом случае, согласно амплитудно-фазовому критерию устойчивости, должна проходить через точку с координатами
(-1, j0), т.е. . Отсюда условие существования в замкнутой системе колебаний имеет вид
или . где
Запишем в показательной форме:
Из последней формулы видно, что в системе возможны колебания, если одновременно выполняются два условия:
и
или в логарифмическом масштабе
Первое условие будет выполняться при пересечении логарифмических амплитудных характеристик ЛЧ и НЭ, а второе условие - при пересечении их фазовых характеристик. Колебания в системе будут возможны, если точка пересечения амплитудных характеристик и точка пересечения фазовых характеристик соответствует одной и той же частоте. Построим ЛАХ и ЛФХ линейной части.
Как и ранее для расчёта и построения характеристик воспользуемся программой и составим код расчёта:
где w - круговая частота, LogК_L() - функция (23), при этом для построения ФЧХ используется функция arg(), рассчитывающей фазу комплексного числа.
Рис.8 - Логарифмические амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики.
Видно, что точки пересечения ЛФЧХ с линией -? лежит значительно левее точки пересечения ЛАЧХ с осью абiисс. Следовательно, замкнутая система неустойчива. Частоты собственных колебаний лежат в диапазоне от 0,3 до 0,7 рад/с. Поскольку система неустойчива (при любом значении параметра t5), то требуется корректирующее звено.
4. Ввод в систему коррекции и избавление от автоколебаний
Чтобы избавиться от автоколебаний в системе нужно, чтобы не выполнялось одно из условий существования автоколебаний в системе.
Введём в лин?/p>