Исследование систем передачи цифровой информации повышенной помехозащищенности с использованием одночастотных псевдослучайных сигналов
Дипломная работа - Компьютеры, программирование
Другие дипломы по предмету Компьютеры, программирование
?ло разрешенных комбинаций кода Хэмминга
. (2.6)
Избыточность кода
. (2.7)
При оценке помехоустойчивости кода Хэмминга, исправляющего однократную ошибку, исходят из того, что безошибочный прием комбинации имеет место в случае отсутствия каких-либо ошибок или в случае появления однократных ошибок, то есть
. (2.8)
Рисунок 13
Вероятность ошибочного приема кодовой комбинации
. (2.9)
Поскольку рассматриваемый код имеет кодовое расстояние ?=3, то он может использоваться как код, обнаруживающий двукратные ошибки. При этом вероятность обнаруживаемой ошибки при малых значениях рош выражается формулой
. (2.10)
Вероятность необнаруживаемой ошибки при малых значениях Pош определяется вероятностью появления трехкратных ошибок
. (2.11)
Сравнивая помехоустойчивость кода Хэмминга, обнаруживающего двукратные ошибки, и кода с четным числом единиц, можно убедиться в том, что эти коды обеспечивают приблизительно одинаковую вероятность обнаруживаемой ошибки, вероятность же необнаруживаемой ошибки у кода Хэмминга значительно меньше, чем у кода с четным числом единиц (при Рош=10-3 более чем на два порядка).
Циклические коды обладают высокими корректирующими возможностями и требуют сравнительно простой кодирующей и декодирующей аппаратуры, основой которой являются сдвигающие регистры.
При рассмотрении циклических кодов оказывается удобным пользоваться представлением комбинаций двоичного кода в виде многочленов вида:
(2.12)
гдеn - количество символов в кодовой комбинации, представляемой многочленом (значность кода);
x - фиктивная переменная;
а0, а1, а2, тАж- коэффициенты, принимающие значения 0 или 1.
Например, кодовой комбинации 1001000011 соответствует многочлен . Представление комбинаций в виде многочленов позволяет все действия над комбинациями свести к действиям над многочленами, с которыми можно производить все алгебраические операции. Особенностью является то, что сложение и вычитание коэффициентов производится по модулю два. В качестве примера произведем все основные операции с многочленами
и .
Название "циклический код" определяется основным свойством этих кодов, состоящим в том, что циклический сдвиг символов разрешенной комбинации на один символ влево образует разрешенную комбинацию. Заметим, что циклический сдвиг комбинации эквивалентен умножению ее многочлена на x с последующим переносом коэффициента при высшей степени x в начало комбинации:
(2.13)
Приведем здесь определение циклических кодов [l6], которое основано на представлении двоичных кодов в виде многочленов: циклическим (n, k) кодом называется код, множество кодовых комбинаций которого представляется совокупностью многочленов степени (n-1) и менее, делящихся на некоторый образующий многочлен р (x) степени q=n-k.
Исходя из этого определения, для формирования комбинации циклического кода F (x) достаточно исходную комбинацию безызбыточного кода G (x) умножить на образующий многочлен p (x)
(2.14)
Однако этот способ приводит к образованию неразделимого кода, что усложняет процесс декодирования.
Применение нашел способ, позволяющий сформировать итоговый кодовый многочлен, в котором коэффициенты при высших степенях х. соответствуют информационным символам, а коэффициенты при низших степенях x - проверочным.
Способ заключается в следующем. Сначала исходный многочлен G (x) умножают на хq, сдвигая тем самым все информационные символы комбинации на q разрядов влево и освобождая "место" в младших разрядах для проверочных символов. В двоичной форме умножение числа на хq равносильно приписыванию справа q нулей. Затем полученное произведение делят на образующий многочлен р (х) и находят остаток от деления R (x) степени меньшей q, то есть
(2.15)
где Q (x) - целая часть частного.
Искомый многочлен циклического кода имеет вид:
(2.16)
Здесь информационные символы представлены коэффициентами при x в степени q, и выше, а проверочные - коэффициентами при x в степени q-1 и ниже. Многочлен (2.16) представляет разрешенную комбинацию циклического кода и в соответствии с определением делится на образующий многочлен р (х) без остатка.
Действительно,
(2.17)
Здесь учитывалось (2.15) и то, что при сложении по модулю два двух одинаковых многочленов в результате получается 0.
При делении многочлена запрещенной комбинации на образующий многочлен р (х) появляется остаток, который может быть использован для обнаружения и исправления ошибок.
Таблица 3
qВид неприводимого многочленаN=2q-1112337415531663712782569511101023
Корректирующая способность циклического кода определяется видом образующего многочлена. Исходным при выборе этого многочлена является кодовое расстояние ?, которым должен обладать формируемый циклический код. Величина ? определяет необходимое количество проверочных символов в комбинации - степень образующего многочлена р (х). Многочлен р (х), кроме того, должен являться одним из неприводимых многочленов (многочленов, не делящихся ни на какой другой многочлен), являющихся сомножителями разложения бинома
(2.18)
В таблице 3, заимствованной из [16], представлены все неприводимые многочлены до шестой степени включительно и некоторые многочлены от