Исследование планарных волноводных структур методом распространяющегося пучка
Курсовой проект - Физика
Другие курсовые по предмету Физика
ть получена путем сдвига волновой функции по на в однородной среде с показателем преломления , затем фазового сдвига , соответствующего распространению через тонкую линзу, и, наконец, сдвига волновой функции на следующий в однородной среде с показателем преломления .
Свойство непрерывности и периодичности функции позволяет применить дискретное преобразование Фурье, т.е., получим:
, (19)
где ,
, , ,
(20)
Здесь является числом точек вычисления. Обратное дискретное преобразование Фурье будет,
, (21)
Используя оператор (18), можно найти распространение волны на расстояние в однородной среде с показателем преломления , получим следующую волновую функцию в точке :
(22)
Можно получить волновую функцию в , заменив на в уравнении (21):
(23)
Подставляя уравнение (21), т.е., функцию в (22), получим
(24)
Правая часть уравнения (24) может быть переписана как
Следовательно, получаем другое выражение для волновой функции в :
(25)
Приравнивания (23) к (25), получим связь
(26)
Уравнение (26) показывает связь между в точке и волновой функцией в точке . Экспоненциальный член в правой части (26),
,
соответствует распространению на расстояние в однородной среде с показателем преломления . Также отметим, что уравнение (25) есть обратное дискретное преобразование Фурье от функции
,
Можно сделать вывод, что применение оператора
, (27)
который соответствует распространению волны на расстояние в однородной среде с показателем преломления , в пространственной области, т.е., пространственная функция в точке, эквивалентно применение следующей математической процедуры
(28)
для пространственной волновой функции. Здесь символ и , соответственно, представляют ДПФ и ОДПФ.
Рис.1 Расчет FFT-BPM за период
Таким образом, расчет FFT-BPM за период включает в себя следующие этапы:.
. в рассчитать спектральную функцию путем применения преобразования Фурье к пространственной волновой функции.
. Чтобы преобразовать в точке , надо умножить
, (29)
на, полученных, на 1-ом этапе. Это умножение соответствует распространению на расстояние в однородной среде с показателем преломления .
. Проделывая обратное преобразование Фурье выражения , можно получить в передней части линзы. Затем умножив фазовый сдвиг, получаемый за счет фазового сдвига линзы на пространственную волновую функцию , получим пространственно-волновую функцию после фазового сдвига линзы:
. (30)
. Проделав преобразование Фурье выражения (30) и умножив на , соответствующая распространению волны на расстояние в однородной среде с показателем преломления , получим в спектральной области в точке .
. при нахождении в , необходимо применить обратное преобразование Фурье к , полученных в последнем этапе.
Повторяя этапы 1-5, можно получить волновую функцию в пространственной области.
.2 КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЙ МЕТОД РАСПРОСТРАНЯЮЩЕГОСЯ ПУЧКА
В начале 90-х был предложен метод, получивший название конечно-разностного метода распространяющегося пучка (Finite-Differential Beam Propagation Method, FD-BPM), основанный на послойном конечно-разностном решении следствий уравнений Гельмгольца.
Рассмотрим распространение в среде монохроматической волны, описываемое уравнениями Гельмгольца, которые можно представить в следующем виде:
Где - вектора комплексных амплитуд напряженности, соответственно, электрического и магнитного полей, - волновое число распространяющейся волны в вакууме, n-показатель преломления среды. Такие уравнения являются следствием из системы уравнений Максвелла при следующих предположениях:
) электромагнитные характеристики среды постоянны во времени,
Где - соответственно, относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости;
) отсутствуют источники поля,
где - плотность электрических зарядов, -вектор плотности тока;
) среда является магнитно-однородной,
Условия, описываемые выражениями (2)-(4), не накладывают ограничений, несовместимых с описанными ранее процессами в волноводах, поэтому уравнения вида (1) могут применяться для описания этих процессов.
Перепишем выражения (1), считая ось Z основным направлением распространения, и представим их в матричной форме:
где - вектора комплексных амплитуд компонентов электрического и магнитного полей, соответственно, а матрицы А и В являются матричными дифференциальными операторами и имеют следующий вид:
Компоненты этих операторов описывают взаимодействие компонентов полей:
где оператор означает дифференцирование только по координатам ? и ?.
Из выражений (13)-(15) и (22)-(24) следует, что для возможности послойного расчета поля необходимо исключить из рассмотрения продольные компоненты поля. Это можно сделать следующими способами.
1)Рассмотрение только ТЕ-поляризации, тогда , а выражение (5) для электрической составляющей примет вид:
где - квадратная матрица, содержащая только элементы, отвечающие за взаимодействие тангенциальных компонентов электрического поля.
) Рассмотрение только ТМ-поляризации, тогда , а выражение (5) для элект