Исследование планарных волноводных структур методом распространяющегося пучка
Курсовой проект - Физика
Другие курсовые по предмету Физика
иным методом моделировать распространение излучения. В результате получая характеристики векторов напряженности электрического и магнитного полей. Полученные значения помогут исследовать модовые и энергетические характеристики пучка путем математических преобразований.
Одним из методов моделирования, традиционно применяемых в интегральной оптике и позволяющих получить такие характеристики поля, как раз таки и является метод распространяющегося пучка.
2. Метод распространяющегося пучка для волоконной и интегральной оптики
преломление пучок волновод оптика
Как говорилось выше, существует несколько методов распространяющегося пучка.
Изначально метод распространяющегося пучка был сформулирован Фейтом и Флекком в виде, отличном от современных модификаций, и основывался на послойном расчете распространения пучка излучения с помощью прямого и обратного преобразования Фурье.
2.1 МЕТОД РАСПРОСТРАНЯЮЩЕГОСЯ ПУЧКА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ БЫСТРОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
Изучение BPM начинается с нахождения параксиальной формы уравнения Гельмгольца, известное как уравнение Френеля. Это уравнение используются для исследования параксиального распространения в медленно меняющихся оптических структурах. Зная этого, можно восстановить BPM алгоритмы.
Параксиальное распространение: уравнение Френеля
Пусть и . (1)
Распространение света в волноводах с произвольной геометрией является очень сложным в целом, и, следовательно, понадобиться сделать несколько приближений. Рассмотрим гармоническую зависимость электрических и магнитных полей, в виде монохроматических волн с угловой частотой ?, таким образом, что временная зависимость будет иметь форму. Уравнение, которое описывает такие ЭM волны является векторным уравнением Гельмгольца:
(2)
Несмотря на то, что можно работать с векторным уравнением, в средах, показатель преломления которых слабо изменяется в поперечном направлении, можно рассматривать проблему распространения оптического сигнала, с помощью скалярного уравнения Гельмгольца. В этом случае, уравнение имеет вид:
(3)
обозначает каждый из шести декартовых компонентов электрических и магнитных полей.
Показатель преломления в данной области обозначается и зависит от геометрии волновода. Если волна распространяется вдоль положительного направления оси , и показатель преломления среды в этом направлении меняется медленно, то поле может быть представлено в виде произведения комплексной амплитуды E(x,z), которая медленно меняется, на быстро осциллирующую волну, движущуюся в положительном направлении оси z:
(4)
, (5)
где характеристическая постоянная распространения, , а - показатель преломления подложки. Подставляя (4) и (5) в (3), и разделив на e-i?z, получим следующие уравнения:
(6)
где характеризует пространственную зависимость волнового числа, а - волновое число в вакууме, - это оператор Лапласа в направлении.
или, используя связи:
и подставляя её в (6) получим следующий вид уравнения (6):
.
Амплитуда поля медленно меняется в пространстве, т.е. :
<< (7)
В этом случае мы можем игнорировать первый член в правой части уравнения (6), это и есть приближение Френеля или параболическое приближение, а уравнение (6) приводит к
,
, (8)
которое известно как уравнение Френеля или параксиальное уравнение. Оно является основным уравнением для описания оптических волн в неоднородных средах, в частности, в волноводных структурах.
Решение уравнения Гельмгольца или Френеля применяются для оптических волн в волноводах, известен как метод распространяющегося пучка (BPM).
Решение уравнения Гельмгольца в однородной среде - это набор плоских волн, и, следовательно, общее решение может быть представлено суперпозицией таких плоских волн .Рассмотрим решение волнового уравнения, которое основано на приближении Френеля. Во-первых, разделим переменные волновой функции уравнения Френеля в направлении распространения и боковых направлениях:
(9)
Подставляя (9) в (8) и предполагая, что, получим операторное соотношение
,
и, следовательно
(10)
Подставляя в (9), получим
(11)
Таким образом, волновую функцию, которая расположена на расстоянии от в направлении распространения, учитывая (9) можно записать в следующем виде:
(12)
Перепишем (12) в следующем виде:
, (13)
где
(14)
Здесь было использовано соотношение и пренебрегли , исходя из того, что является достаточно малым
в (13) является дифференциальным оператором, при этом можно использовать следующее соотношение для функции f общего вида:
. (15)
Эта связь означает, что первый и второй оператор (13) не могут быть взаимозаменяемыми. Тем не менее, надо сделать операторы в (13) симметричными,
(16)
При , смотрим (14), следовательно, уравнение(16) сводится к
. (17)
Это означает, что действие оператора
(18)
соответствует изменению фазы на расстоянии в однородной среде с показателем преломления . Таким образом, первый и третий члены (16) соответствуют распространению света в однородной среде с показателем преломления на . Выражение (16) означает, что волновая функция в может бы