Исследование переходных процессов токов и напряжений всех ветвей электрической цепи
Дипломная работа - Физика
Другие дипломы по предмету Физика
пи до коммутации. Определяется значение тока через индуктивность и напряжение на емкости до коммутации (ключ замкнут). Так как в цепи действует источник гармонического напряжения, то для анализа следует воспользоваться методом комплексных амплитуд.
Для исходной схемы составляется комплексная схема замещения цепи (рисунок 5) и определяются ее параметры следующим образом:
Рисунок 5. Комплексная схема замещения
,
Подставляя численные значения, получаем:
Ом
Для активных сопротивлений комплексная и действующая формы совпадают.
Определяем ток :
Далее запишем закон напряжений Кирхгофа для первого контура:
, откуда с учетом получаем
Зная значение тока , определяется комплексное амплитудное значение напряжения на емкости:
Значение напряжения на емкости к моменту коммутации будет соответственно равно
Далее записываем уравнения Кирхгофа для второго контура
Отсюда
Комплексное амплитудное значение тока через индуктивность до коммутации определяется как:
Значение тока к моменту коммутации:
Таким образом, определены значения тока в индуктивности и напряжения на емкости непосредственно перед коммутацией. Они составляют:
и
. Определение независимых начальных условий. Независимыми начальными условиями являются ток в индуктивности и напряжение на емкости в момент времени , которые определяются согласно первому и второму законам коммутации:
Следовательно,
. Составление операторной схемы замещения цепи после коммутации. Поскольку цепь имеет ненулевые начальные условия, то с учетом внутренних источников ЭДС операторная схема замещения цепи после коммутации будет иметь вид представленный на рисунке 6.
Рисунок 6 - Операторная схема замещения
3.Составление уравнений электрического равновесия цепи в операторной форме. Для цепи рис.6 можно составить систему уравнений Кирхгофа:
В данном случае E(p) - изображение по Лапласу гармонического
воздействия:
. Решение уравнений Кирхгофа относительно изображений искомых токов и напряжений. Полученная система уравнений имеет решение
. Определение оригинала изображения искомого тока проводим по методу, изложенному в п.2. Искомый ток
Можно сделать вывод, что вид свободной части реакции цепи совпадает с найденным ранее. Это связано с тем, что свободная составляющая не зависит от внешних воздействий и определяется только параметрами цепи.
График зависимости тока представлен на рисунке 7:
Рисунок 7. График зависимости тока
4. Метод переменных состояния
Рисунок 8.
1)Составление системы дифференциальных уравнений цепи. Для составления системы дифференциальных уравнений записывается система уравнений цепи по Кирхгофу:
Учтем, что и :
2)Эта система просто разрешается относительно производных:
) Запишем полученную систему уравнений для переменных состояния в матричной форме:
Т.е ,
где
Таким образом,
На данном этапе можно проконтролировать правильность действий. Для этого найдем собственные числа матрицы А:
Видно, что найденные собственные числа совпадают с корнями характеристического уравнения цепи.
) Численный метод решения
Решим численно матричное уравнение .
Начальные условия и найдены в пункте 1. Итак,
Зададим начальные значения в виде вектора
Формализованная матричная запись уравнений состояния:
Задаём конечное значение интервала интегрирования:
Задаём число точек интегрирования:
Обращаемся к программе интегрирования:
Матрица y имеет три столбца, пронумерованные от нуля до двух. Первый из них содержит значения времени, второй - , третий - .
7. Строим график переменных состояния, который представлен
на рисунке 9, 10.
индуктивность ток коммутация
Рисунок 9
Рисунок 10
) Аналитическое решение
Для аналитического решения уравнений состояния нам понадобятся найденные выше собственные числа матрицы коэффициентов A. Это комплексно-сопряженные числа, и по ним мы можем определить общий вид свободной составляющей переменных состояния:
,
где .
Общий вид решения
Принужденная составляющая может быть найдена непосредственным решением уравнения , если принять во внимание, что при постоянных воздействиях вынужденная составляющая реакции тоже постоянна, и поэтому производные в левой части системы уравнений состояния будут равны нулю:
.
Отсюда . Решая это уравнение, получаем
, что соответствует результатам, найденным в пункте 1.
Независимые начальные условия были найдены также в пункте 1:
.
Теперь необходимо найти начальные значения производных переменных состояния. Их можно определить непосредственно по уравнениям состояния при t=0+:
С другой стороны, . Решая систему уравнений относительно постоянных интегрирования A и ?
, получаем .
?/p>