Исследование переходных процессов в механической системе
Курсовой проект - Компьютеры, программирование
Другие курсовые по предмету Компьютеры, программирование
1. Постановка задачи
коши эйлер excel механический система
Схема взаимодействия элементов двухмассовой механической системы вибрационного типа с упругими и демпфирующими элементами приведена на рисунке
Схема включает:
m1, m2 - массы деталей;
c1, с2 - коэффициенты жесткости упругих элементов.
k- коэффициент демпфирования элемента системы гасящего колебания (вибрации)
f1(t), f2(t) - внешние воздействия на систему, как функции времени, которые называются динамическими нагрузками на первую и вторую деталь (элемент) соответственно.
Y10, Y20 - абсолютные координаты в единице длины (м) состояния равновесия системы, относительно уровня фундамента или дороги.
Y1(t), Y2(t), y1(t), y2(t) - абсолютные и относительные координаты в единице длины (м) деталей при их перемещении вдоль вертикальной оси относительно состояния равновесия Y10, Y20 под воздействием динамических нагрузок f1(t) и f2(t).
Пусть заданы:
1.Параметры системы m1, m2, c1, c2, k;
2.Начальное состояние системы по координатам y10, y20 и по скоростям перемещения деталей V10, V20 в момент времени t=0 примем для определенности нулевыми;
.Динамические нагрузки в виде сил, действующих на детали, как функции времени f1(t) и f2(t) соответственно.
Требуется:
1.Исследовать переходные процессы в механической системе (решение задачи Коши);
2.Провести аппроксимацию переходных процессов по функциям скоростей системы;
.Вычислить кинетическую энергию, рассеиваемую на демпфере в единицу времени.
2. Этапы выполнения курсовой работы
.1 Исследование переходных процессов в механической системе
Для вычисления данного этапа необходимо найти:
1.Координаты центра масс первой и второй деталей как функции времени y1(t) и y2(t) относительно состояния равновесия y10=0 и y20=0при
.Скорости вертикального перемещения деталей V1(t), V2(t) на промежутке изменения
.Построить графики функций y1(t), y2(t), V1(t), V2(t), где
.Амплитуды (максимальные по модулю отклонения) от состояния равновесия и соответствующие моменты времени для каждой из четырех переменных (координат и скоростей деталей):
2.2 Аппроксимация переходных процессов
Средствами программ Mathcad Professional и Excel следует выполнить аппроксимацию переходных процессов по одной из функций у1(t), V1(t), y2(t), V2(t)
Предусмотреть выбор типа аппроксимирующей или аппроксимирующих функций (в случае кусочной аппроксимации) в зависимости от графика переходного процесса при изменении t [0;T], полученного на предыдущем этапе в системе Mathcad Professional. Данные для аппроксимации в Excel переслать (конвертировать) из документа Mathcad по согласованию с преподавателем для y1(t) или V1 (t) или у2(t) или V2(t). В каждом варианте курсовой работы задается для аппроксимации только одна функция, точнее один набор данных из указанных четырех, полученных на предыдущем этапе.
Получение аналитических (символьных) выражений для искомой функции y1(t) или VI(t) или y2(t) или V2(t) на каждом из выбранных временных интервалов из [0; Т] выполняется с использованием средства аппроксимации Excel (линия тренда), а также путем решения задачи оптимизации, точнее минимизации суммы квадратов отклонений подбором неопределенных коэффициентов (Сервис - Поиск решения).
.3 Интеграл энергии
На этом этапе необходимо вычислить кинетическую энергию, рассеиваемую на демпфере в единицу времени (мощность), по формуле:
Для расчета интеграла используются разные методы (по вариантам). Значение интеграла энергии вычисляется для трех вариантов изменяемого параметра (опорное расчетное значение, половинное и удвоенное).
. Вывод системы дифференциальных уравнений
В соответствии со вторым законом Ньютона для первой и второй детали можно записать следующие дифференциальные уравнения
где в правой части первого уравнения - сумма сил, действующих на первую деталь, а во втором - сумма сил, действующих на вторую деталь, в проекции на вертикальную ось OY. Учитывая, что упругие силы пружин согласно закону Гука пропорциональны относительному перемещению тел (сжатию или растяжению упругих элементов, пружин), а силы, действующие на демпфер, пропорциональны скорости относительного перемещения деталей, получим из (1) систему двух дифференциальных уравнений второго порядка в виде
Для состояния равновесия механической системы характерно Y\ = Y2=Y1-Y2 = О, равенство нулю скоростей и ускорений при отсутствии внешних нагрузок f1(t) = f2(t) = 0. Тогда абсолютные координаты состояния равновесия можно найти из решения соответствующей системы статических уравнений.
Введем новые координаты относительных перемещений.
Проведя необходимые преобразования, получим систему двух дифференциальных уравнений второго порядка, описывающих относительные перемещения деталей
Вводя новые переменные (скорости перемещений) VI и V2 запишем систему двух дифференциальных уравнений второго порядка в виде нормализованной системы четырех дифференциальных уравнений первого порядка
Вводя обозначение функций - правых частей дифференциальных уравнений имеем
2.1.1 Вывод системы дифференциальных уравнений
В соответствии со вторым законом Ньютона для первой и второй детали можно записать следующие дифференциальные уравнения
где в правой части первого уравнения - сумма