Исследование модели фрактального броуновского движения
Дипломная работа - Физика
Другие дипломы по предмету Физика
Исследование модели фрактального броуновского движения
Реферат
Дипломная работа содержит 96 страниц, 24 рисунка, 5 таблиц, 11 источников, 1 приложение.
Фрактальное броуновское движение, фрактальный гауссовский шум, автомодельность, оценка ковариационной функции, оценка параметра Харста, интерполяция, экстраполяция, прогнозирование, фильтрация Калмана-Бьюси.
В данной работе рассматривается теоретические основы фрактального броуновского движения (ФБД), вопросы статистического моделирования ФБД на компьютере, а также применение теории ФБД при статистическом моделировании процессов стохастической системы, описываемых линейным дифференциальным уравнением с возмущениями в виде ФБД.
Оглавление
Реферат
Введение
. Теоретические основы фрактального броуновского движения (ФБД)
.1 Свойство автомодельности
.2 Фрактальное броуновское движение
.3 Фрактальный гауссовский шум
. Моделирование ФБД
. Интерполяция, экстраполяция и прогнозирование процесса ФБД по наблюдениям в двух точках
. Моделирование дифференциальной системы с возмущениями в виде ФБД и оценка состояний дифференциальной системы с ФБД на основе фильтрации Калмана-Бьюси
. Экономическая часть
. Охрана труда и окружающей среды
Заключение
Список использованной литературы
Приложение
Введение
При статистическом анализе финансовых временных рядов давно было замечено, что многие из них обладают свойствами (статистического) самоподобия, проявляющимися в том, что, образно говоря, их части устроены так же, как и целое. Например, если - дневные значения финансового индекса, то эмпирические плотности и , , найденные по большому ряду величин
и ,
соответственно, оказываются такими, что
,
где H - некоторая константа, которая (в отличие от ожидаемой, согласно центральной предельной теореме, величины ) значимым образом больше .
Эти наблюдения привели к развитию общей концепции (статистической) автомодельности, приведшей к появлению понятий фрактального броуновоского движения и фрактального гауссовского шума. Константа H, упомянутая выше, получила название параметра Харста, в честь британского климатолога Гарольда Харста открывшего эффект сильного последействия последовательности зависимых случайных величин при анализе поведения флуктуаций годичной водности реки Нила. Позднее теория фрактального броуновского движения получила широкое практическое применение при анализе финансовых показателей (цен акций, обменных курсов валют), а также ряда физических явлений, таких как турбулентность.
1. Теоретические основы фрактального броуновского движения (ФБД)
1.1 Свойство автомодельности
Случайный процесс со значениями в называется автомодельным (самоподобным), или удовлетворяющим свойству (статистической) автомодельности, если для каждого можно найти такое , что
. (1)
Это означает, что изменение временной шкалы приводит к тому же самому результату, что и изменение фазовой шкалы .
Для ненулевых строго устойчивых процессов существует константа H такая, что . Таким образом, если в данном ранее определении автомодельного процесса заменить , то случайный процесс будет называться автомодельным с показателем Харста H, или процессом, удовлетворяющим свойству статистической автомодельности с показателем Харста H.
1.2 Фрактальное броуновское движение
Рассмотрим функцию:
.(2)
Эта функция при является неотрицательно определенной, и, следовательно, на некотором вероятностном пространстве существует гауссовский процесс с нулевым средним и автоковариационной функцией
,
то есть, с
.(3)
Отсюда видим, что
.
и, значит,
.
Таким образом, можно заключить, что рассматриваемый процесс является автомодельным с показателем Харста H.
Непрерывный гауссовский процесс с нулевым средним и ковариационной функцией (3) называется (стандартным) фрактальным броуновским движением с показателем автомодельности Харста (в дальнейшем для такого процесса будет использоваться обозначение ).
Из данного определения следует, что (стандартное) фрактальное броуновское движение удовлетворяет следующим свойствам, которые можно было бы также принять в качестве определения этого процесса:
) , для всех ;
) имеет стационарные приращения:
;
) является гауссовским процессом,
,
где .
) имеет непрерывные траектории.
Из этих свойств снова следует, что фрактальное броуновское движение обладает свойством автомодельности.
В случае (стандартное) фрактальное броуновское движение есть ни что иное, как (стандартное) броуновское движение, или винеровский процесс.
1.3 Фрактальный гауссовский шум
В прикладной теории вероятностей броуновское движение используется в качестве модели, дающей простой способ получения белого шума. Если положить
, (4)
то получаемая последовательность будет гауссовской последовательностью независимых одинаково распределенных случайных величин с , . Такая последовательность называется бел