Исследование модели фрактального броуновского движения
Дипломная работа - Физика
Другие дипломы по предмету Физика
?ных процессов по методу моментов. Подставим в формулу (6) для точного значения ковариационной функции оценку параметра Харста и приравняем полученное выражение оценке ковариационной функции, рассчитанной по формуле (17), при .
,
,
.
Для смоделированных ФБД, траектории которых представлены
на рис. 1-4, получаем следующие оценки параметра Харста:
Таблица 1. Оценка параметра Харста методом моментов.
Процесс Точное значение параметра Харста HОценка параметра Харста Рис. 10.80.7914Рис. 20.80.7336Рис. 30.20.2467Рис. 40.20.27393. Интерполяция, экстраполяция и прогнозирование процесса ФБД по наблюдениям в двух точках
Важным классом задач в теории случайных процессов является построение оценки неизвестных значений процесса по нескольким известным значениям (наблюдениям).
В данной работе рассматривается задача построения с.к.-оптимальной оценки по наблюдениям . В зависимости от значений можно выделить три подзадачи:
Подзадача 1 (интерполяция)
Рассмотрим случай, когда :
Задачу построения оценки по наблюдениям при будем называть задачей интерполяции.
Подзадача 2 (экстраполяция)
Рассмотрим случай, когда :
Задачу построения оценки по наблюдениям при будем называть задачей экстраполяции.
Подзадача 3 (прогнозирование)
Рассмотрим случай, когда :
Задачу построения оценки по наблюдениям при будем называть задачей прогнозирования.
Для построения оценки воспользуемся теоремой о нормальной корреляции.
Пусть
- оцениваемая случайная величина,
- вектор наблюдений.
Тогда по теореме о нормальной корреляции:
,
где
,(18)
,(19)
.(20)
Поскольку , , получаем
.(21)
Подставив в формулу (21) выражения (18), (19) и (20) и упростив получившееся выражение, получаем:
,
где
.
Для случая (обычное броуновское движение) в задаче интерполяции аналитически получаем:
,(22)
то есть получаем линейную оценку неизвестного значения по двум наблюдениям:
Рис. 9. Оценка по двум наблюдениям в задаче интерполяции в случае .
Для задач экстраполяции и прогнозирования в случае также получаем, что с.к.-оптимальной оценкой является линейная оценка.
Проанализируем поведение с.к.-оптимальной оценки в случае .
Вычисление оценки для случая
(график процесса представлен на рис. 1)
Интерполяция:
Точное значение Линейная оценкаС.к.-оптимальная оценка 701207533,0231,2431,697012010036,8535,436,067012011039,8237,0737,42
Экстраполяция:
Точное значение Линейная оценкаС.к.-оптимальная оценка 1001207030,4134,0326,951001208035,0334,9730,651001209035,8835,9134,05
Прогнозирование:
Точное значение Линейная оценкаС.к.-оптимальная оценка 7010011039,8239,038,757010012038,7341,1440,587010013039,4743,2942,35
Вычисление оценки для случая
(график процесса представлен на рис. 3)
Интерполяция:
Точное значение Линейная оценкаС.к.-оптимальная оценка 70110802,382-0,288-0.35670110900,047-0,614-0.563701101000,257-0,941-0.779
Экстраполяция:
Точное значение Линейная оценкаС.к.-оптимальная оценка 100120700,0391,2950,016100120802,3820,9490,031100120900,0470,6030,062
Прогнозирование:
Точное значение Линейная оценкаС.к.-оптимальная оценка 70100110-1,2670,330,18770100120-0,4350,4020,172701001301,7010,4750,163
4. Моделирование дифференциальной системы с возмущениями в виде ФБД и оценка состояний дифференциальной системы на основе фильтрации Калмана-Бьюси
Рассмотрим следующую дифференциальную систему:
(23)
в которой , , , (такая система описывает процесс Орнштейна-Уленбека). - стандартные процессы фрактального броуновского движения. , являются независимыми.
Для решения системы (23) перейдем от дифференциалов к конечным разностям:
(24)
Здесь , - фрактальный гауссовский шум.
, .
, , - независимые.
Рассчитаем получившуюся рекуррентную формулу (24) при следующих данных: , , , , .
Для получаем:
Рис. 10. Решение разностного уравнения (24) . Синим цветом нарисован график наблюдаемого процесса , черным - оцениваемого процесса .
Для получаем:
Рис. 11. Решение разностного уравнения (24) для . Синим цветом нарисован график наблюдаемого процесса , черным - оцениваемого процесса .
Задача фильтрации состоит в определении с.к.-оптимальной оценки процесса по наблюдениям процесса . С.к.-оптимальной оценкой является условное математическое ожидание:
,
где
есть -алгебра, порожденная значениями процесса до текущего момента времени .
Классическая теорема Калмана-Бьюси дает уравнение, описывающее эволюцию математического ожидания в случае, когда в системе (23) вместо фрактального броуновского движения присутствуют обычные винеровские процессы.
Для рассмотренного случая процесса Орнштейна-Уленбека дифференциальное уравнение для математического ожидания имеет вид:
,(25)
где .
Исследуем поведение фильтра в случае системы (23) с возмущениями в виде ФБД.
В выражении (25) перейдем от дифференциалов к конечным разностям:
.(26)
Рассчитаем значения фильтра Калмана-Бьюси вместе со значениями состояния системы (24):
, :
Синим цветом нарисован график наблюдаемого процесса , черным - оцениваемого процесса , красным - оценка фильтра Калмана .
Ошибка оце