Исследование модели фрактального броуновского движения
Дипломная работа - Физика
Другие дипломы по предмету Физика
ым (гауссовским) шумом.
По аналогии с (4) положим
,(5)
и будем называть последовательность фрактальным (гауссовским) шумом с параметром Харста H, .
Из формулы (3) для ковариационной функции (стандартного) процесса следует, что ковариационная функция имеет следующий вид:
.(6)
Отсюда видно, что при
.(7)
Тем самым, в случае ковариация для , и образует гауссовскую последовательность независимых случайных величин. Если же , то из (7) видно, что ковариация убывает с ростом достаточно медленно, что обычно интерпретируется, как наличие долгой памяти, или сильного последействия.
Отметим принципиальную разницу в случаях и .
Если , то ковариация отрицательна (, ), при этом .
Если , то ковариация положительна (, ), при этом .
Положительная ковариация означает, что вслед за положительными (отрицательными) значениями следует ожидать также положительные (отрицательные) значения. Отрицательность же ковариации означает, что вслед за положительными (отрицательными) значениями следует ожидать отрицательные (положительные) значения.
фрактальный броуновский моделирование стохастический
2. Моделирование ФБД
Рассмотрим фрактальное броуновское движение с дискретным временем . Согласно формуле (5) его можно представить в виде:
.(8)
Для того чтобы смоделировать ФБД по формуле (8), возьмем следующую оценку фрактального гауссовского шума:
,(9)
где - комплексно-значные независимые центрированные гауссовские случайные величины с дисперсией .
Дисперсии случайных величин определяются следующим образом:
,(10)
.
Спектральная плотность имеет вид:
,(11)
где ковариационная функция определяется по формуле (6).
Распишем спектральную плотность в формуле (11):
(в силу четности ковариационной функции)
.(12)
При моделировании ФБД будем использовать оценку спектральной плотности с конечной суммой слагаемых в формуле (12):
,(13)
где .
Оценим, какую ковариационную функцию дает такая оценка спектральной плотности:
Распишем интеграл I:
Интеграл II:
Таким образом:
Поскольку дальше при расчетах используется , можно говорить о том, что оценка спектральной функции (13) является допустимой в рамках данной работы.
В формуле (10) выберем такие , чтобы . Для этого построим функцию, равную интегралу от спектральной плотности, с аргументом, равным верхнему пределу интеграла:
.
Поскольку ряд в выражении (13) сходится, его можно интегрировать почленно:
Далее для каждого , вычисляем .
Поскольку очевидно, что выбранное разбиение отрезка симметрично относительно нуля, перейдем от , к , следующим образом:
,
, ,(14)
.
Определим случайные величины в формуле (9) следующим образом:
,(15)
где - независимые одинаково распределенные случайные величины.
Проверим, что в случае представления (15) будут действительно независимыми центрированными гауссовскими случайными величинами с дисперсией :
) независимость следует из независимости и ,
) центрированность следует из центрированности и ,
) гауссовость следует из гауусовости и ,
) , что и требовалось доказать.
С учетом (14) и (15) формулу (9) для оценки фрактального гауссовского шума можно преобразовать следующим образом:
.(16)
Далее с помощью специально разработанной на языке C++ программы, исходный код которой представлен в Приложении, по формуле (16) производилось моделирование реализаций фрактального гауссовского шума, а затем по формуле (8) вычислялись значения ФБД.
Ниже представлены графики ФБД для количества шагов и различных значений параметра Харста.
Рис. 1. Реализация ФБД для
Рис. 2. Реализация ФБД для
Рис. 3. Реализация ФБД для
Рис. 4. Реализация ФБД для
Графики ФБД, представленные на рис. 1-4, наглядно показывают различные типы последействия для различных значений параметра Харста H.
Построим теперь оценку ковариационной функции и параметра Харста смоделированного процесса, чтобы убедиться, что смоделированный процесс действительно является фрактальным броуновским движением.
Оценку ковариационной функции можно построить по одной траектории, поскольку процесс является стационарным:
,(17)
где - наблюдения фрактального гауссовского шума.
Ниже представлены графики оценок ковариационных функций для смоделированных ФБД, траектории которых представлены на рис. 1-4. На графиках красным цветом обозначена оценка ковариационной функции, черным - точное значение ковариационной функции, вычисленное по формуле (6). Графики построены для 20 шагов.
Рис. 5. Оценка ковариационной функции ФБД для
(траектория процесса представлена на рис. 1)
Рис. 6. Оценка ковариационной функции ФБД для
(траектория процесса представлена на рис. 2)
Рис. 7. Оценка ковариационной функции ФБД для
(траектория процесса представлена на рис. 3)
Рис. 8. Оценка ковариационной функции ФБД для
(траектория процесса представлена на рис. 4)
Оценим параметр Харста для смоделирова?/p>