Исследование моделей движения материальной точки вблизи положения равновесия
Дипломная работа - Физика
Другие дипломы по предмету Физика
Анализ моделей движения материальной точки вблизи
положения равновесия
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
.Моделирование движения точки, имеющей три степени свободы
.1 Математическое описание движения
.2 Решение системы ОДУ операционным методом
.3 Решение системы ОДУ классическим методом
.4 Построение траектории движения выбранной системы
.5 Построение моделей в программе MatLab
.5.1 Построение модели операционным методом
.5.2 Построение модели классическим методом
.Сравнение моделей движения материальной точки
Заключение
Библиографический список
Введение
Рассмотрим систему движения материальной точки, которая под действием внешних воздействий совершает движение в горизонтальной и вертикальной плоскостях. Еще более наглядной иллюстрацией таких колебаний является движение морского буя, представленное на рисунке 1, который под действием прибоя совершает движение в горизонтальной и вертикальной плоскостях. Моделирование движения такого буя может быть полезно при проектировании волновых энергетических установок, интерес к которым непрестанно растет в связи с научно-исследовательскими работами в области альтернативных источников энергии.
Рис.В.1. График движения точки вблизи положения равновесия
модель движение точка исчисление
В теории колебания зачастую приходится сталкиваться с необходимостью решения дифференциальных уравнений. Существует несколько принципиально разных подходов решения данной задачи.
Дифференциальные уравнения можно решать аналитически, численно и с помощью специальных методов математического анализа (операционный метод). Зачастую инженер, неплохо разобравшись с одним методом, применяет этот метод к другим схожим задачам, например, сейчас широкое распространение получили численные методы. Связанно это в первую очередь с широким распространением компьютерной техники. Численные методы позволяют решать большой класс задач практически любой сложности, однако, требуют громоздких и трудоемких однотипных выкладок, которые сложно решаются вручную. Увеличение сложности задач приводит к тому, что решение напрямую с помощью численных методов становится нецелесообразным, так как занимает слишком много времени и машинных ресурсов.
Между тем, многие задачи значительно упрощаются, если при их решении применять операционное исчисление, это позволило бы оптимизировать использование вычислительных мощностей при изучении колебательных процессов различной природы.
Целью данной работы является исследование алгоритмов построения моделей малых движений тела вблизи положения равновесия и выявление более эффективного метода.
Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:
рассмотрение особенностей задачи малых движений тела;
изучение методов решения дифференциальных уравнений;
построение моделей движения тела;
практическая реализация построенных моделей;
выявление преимуществ и недостатков каждого метода с точек зрения теории и практики;
1. Моделирование движения точки, имеющей три степени свободы
В общем виде, точка в трехмерном пространстве может иметь три степени свободы, и ее колебание в таком случае будет являться сложением колебаний по каждому из свободных направлениям. Примером такого движения могут служить колебания атомов в кристаллической решетке.
Еще более наглядной иллюстрацией таких колебаний является движение морского буя (см. рис. 1.1), который под действием прибоя совершает движение в горизонтальной и вертикальной плоскостях. Моделирование движения такого буя может быть полезно при проектировании волновых энергетических установок, интерес к которым непрестанно растет в связи с научно-исследовательскими работами в области альтернативных источников энергии.
Рисунок 1.1. Морской буй
Сравним алгоритмы построения модели малых движений буя относительно точки равновесия при помощи различных методов. При ее построении будем руководствоваться базовыми принципами построения математических моделей
. Исходя из принципа множественности моделей, зададимся целью построить модель, описывающую траекторию движения буя.
. Исходя из принципа информационной достаточности, условимся считать буй полой сферой при рассмотрении действующих на него архимедовой силы и силы сопротивления среды и материальной точкой во всех других случаях.
. Исходя из принципа осуществимости, условимся считать движение буя суперпозицией движений по ортам трехмерной Декартовой системы координат.
.1 Математическое описание движения
Этот этап алгоритма построения модели будет общим для всех методов, так как вне зависимости от применяемого математического аппарата, движение подчиняется строго определенным физическим закономерностям.
Траектория движения буя будет являться пространственной кривой, определяющейся системой (1.1.1), состоящей из 3 неоднородных дифференциальных уравнений:
(1.1.1)
- проекции вынуждающей внешней силы на соответствующие оси координат. В случае свободных колебаний (волны отсутствуют) и система (1.1.1) будет являться системой однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.
- коэффициенты инерц?/p>