Исследование моделей движения материальной точки вблизи положения равновесия
Дипломная работа - Физика
Другие дипломы по предмету Физика
?и. Строго говоря, эти коэффициенты согласно релятивистской теории, зависят от скоростей и при разных значениях скоростей по разным направлениям, должны отличаться друг от друга. Но поддающиеся регистрации отличия величин этих коэффициентов могут быть зафиксированы на скоростях, значительно превышающих любые скорости, достигаемые природными и техногенными макрообъектами в земных условиях. Исходя из этого, корректно пренебречь релятивистскими эффектами, поэтому
- коэффициенты сопротивления. В силу изотропности воды коэффициенты сопротивления одинаковы во всех направлениях
- квазиупругие коэффициенты восстановления. Коэффициенты, соответствующие движениям в горизонтальной плоскости , будут определяться упругими свойствами троса. Коэффициент будет включать в себя еще составляющую архимедовой силы.
Таким образом, для определения траектории движения необходимо решить систему уравнений.
(1.1.2)
1.2 Решение системы однородных дифференциальных уравнений операционным методом
Определим абсциссу траектории как функцию времени. Рассмотрим первое уравнение системы (1.1.2)
Для получения общего решения рассмотрим задачу Коши с произвольными начальными условиями по примеру .
Пусть , тогда и
Заметим, что - начальное положение точки и - ее начальная скорость.
,
,
,
.
Воспользуемся элементарным методом нахождения функции оригинала. В силу свойства линейности преобразования Лапласа
Представим изображение в виде линейной комбинации изображений простейших функций, каждое из которых может быть сопоставлено соответствующему оригиналу при помощи таблицы стандартных изображений.
= =
==
Для более компактной записи введем , тогда
,
(1.2.1)
Аналогичным образом определяются ордината и аппликата траектории:
(1.2.2)
(1.2.3)
Выражения (1.2.1) - (1.2.3) вместе представляют собой уравнение траектории движения буя в параметрической форме.
1.3 Решение системы однородных дифференциальных уравнений классическим методом
Рассмотрим первое уравнение системы (1.1.2). Преобразуем его, сократив на множитель .
(1.3.1)
Обозначим для удобства , и составим характеристическое уравнение, соответствующее выражению (1.3.2):
Найдем корни характеристического уравнения по теореме Виета:
В зависимости от значений коэффициентов p и q возможны 4 случая.
Случай 1
Если сопротивление p настолько велико, что подкоренное выражение положительно, то корни характеристического уравнения будут действительными отрицательными числами. Общее решение будет
(1.3.3)
Из равенства (1.3.3) следует, что отклонение с течением времени стремится к 0 (буй движется к положению равновесия). Колебаний в этом случае не будет.
Случай 2
Если сопротивление таково, что , то
Общее решение будет
(1.3.4)
Здесь буй так же, как и в первом случае, стремится к положению равновесия, но более медленно, благодаря наличию сомножителя t.
Случай 3
Если сопротивление отсутствует, то есть , то корни
,
где .
Общее решение будет
(1.3.5)
В уравнении (3.5) заменим постоянные и другими, для чего разделим у умножим правую часть на откуда
Вводим обозначения
, ,
Тогда получим
Преобразуем последнее выражение при помощи тригонометрических формул приведения
(1.3.6)
Движение, происходящее по закону (3.6) будет являться гармоническим колебанием с амплитудой , частотой и начальной фазой
Случай 4
Если сопротивление настолько мало, что подкоренное выражение отрицательно, то корни будут комплексными
,
Где
Общее решение будет
(1.3.7)
После аналогичной случаю 3 замены постоянных интегрирования и , получим
(1.3.8)
В этом случае буй будет совершать затухающие колебания с амплитудой , являющейся функцией времени t и стремящейся к 0.
Таким образом, при использовании классического метода необходимо составить характеристическое уравнение, от корней которого будет зависеть вид решения.
.4 Построение траектории движения буя
По полученному уравнению строим траекторию движения буя. Радиус-вектор траектории определяется по формуле
(1.4.1)
Таким образом алгоритм построения модели малых движений точки вблизи положения устойчивого равновесия выглядит следующим образом:
.Математическое описание движения
.Получение системы дифференциальных уравнений движения
.Разрешение полученной системы любым из известных методов. Нахождение координат точки как функций времени.
.Определение радиус-вектора и построение графика траектории.
Алгоритмы построения модели в зависимости от примененного метода будут иметь различную длину и сложность. Это наглядно иллюстрируется при помощи построения диаграмм деятельности в программе SoftwareIdeasModeler.4.91 для каждого из рассмотренных случаев (рис. 1.4.1 - рис. 1.4.2). Как видно, применение классического метода дает значительно более разветвленный и сложный алгоритм.
Рис. 14.1 Алгоритм построения модели траектории буя с применением операционного метода
Рис. 1.4.2 А