Исследование математического ожидания состоятельной оценки взаимной спектральной плотности
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
),
получим требуемый результат. Лемма доказана.
Теорема 2.2. Если взаимная спектральная плотность удовлетворяет соотношению (2.7), то для математического ожидания оценки , , задаваемой (2.1), имеет место равенство
(2.13)
где , задается соотношением (2.6), .
Доказательство. Используя соотношение (2.9) можем записать
Теорема доказана.
3. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ОКНА
Покажем, как строятся весовые функции , которые будем называть спектральными окнами. В общем случае строятся следующим образом:
где четная, не зависящая от T действительная функция, для которой
а Обычно предполагается, что при , , ,
и
Приведем некоторые примеры функций
.
.
.
.
.
Все указанные функции являются неотрицательными.
Оказывается, скорость сходимости моментов рассматриваемых оценок важно существенно улучшить, если использовать знакопеременные спектральные окна, т.е. такие четные функции , которые наряду с тем, что удовлетворяют условиям
а
где - некоторое натуральное число.
4.ОКНА ПРОСМОТРА ДАННЫХ
Чтобы выделить определенные характеристики спектральных оценок, нередко прибегают к сглаживанию значений на концах случайного временного ряда. Временное сглаживание представляет собой умножение ряда на окно данных.
Функция называется окном просмотра данных (множителем сходимости, коэффициентом сглаживания).
Функцию
(4.1)
называют частотным окном. Из соотношения (4.1) вытекает, что
Характерное поведение функции состоит в том, что она становится все более сконцентрированной в окрестности нуля при .
Примеры окон просмотра данных:
1.1 - окно Дирихле;
.1- - окно Фейера;
.;
. - окно Хэннинга;
. - окно Хэмминга;
. - окно Хэмминга;
., где - окно Хэмминга;
.1- - окно Рисса.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной работе исследовано математическое ожидание оценки взаимной спектральной плотности вида
.
Построены графики этой оценки для различных окон данных на основании данных, представляющих собой последовательность наблюдений - температуры воздуха в городе Бресте с октября 2008 по февраль 2009 года.
Графики построены также для центрированного случайного процесса.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1.Андерсон, Т. Статистический анализ временных рядов. - М.: Мир, 1976. - 755 с.
2.Бриллинджер, Д. Временные ряды. Обработка данных и теория. - М.: Мир, 1980. - 536 с.
.Журбенко, И.Г. Спектральный анализ временных рядов. - М.: Изд-во МГУ, 1982. - 168 с.
.Труш, Н.Н. Асимптотические методы статистического анализа временных рядов. - Мн.: БГУ, 1999. - 218 с.
.Труш, Н.Н., Мирская, Е.И. Случайные процессы. Преобразования Фурье наблюдений. - Мн.: БГУ, 2000.
6. Welch, P.D. The use of FFT for the estimation of power spectra / P.D. Welch // IEEE Trans. Electroacoust. - 1967. - Vol. 15, №2. - P.70-73.
ПРИЛОЖЕНИЕ
ГРАФИКИ ОЦЕНКИ ВЗАИМНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ОКОН ПРОСМОТРА ДАННЫХ
Для исследования оценки (2.2) был исследован ряд, состоящий из 176 наблюдений ежедневной температуры воздуха в городе Бресте с октября 2008 по февраль 2009 года.
Рисунок 1 - График оценки спектральной плотности (2.2) для окна Дирихле.
Рисунок 2 - График оценки спектральной плотности (2.2) для окна Дирихле для центрированного случайного процесса
Рисунок 3 - График оценки спектральной плотности (2.2) для окна Фейера.
Рисунок 4 - График оценки спектральной плотности (2.2) для окна Фейера для центрированного случайного процесса.
Рисунок 5 - График оценки спектральной плотности (2.2) для окна вида 3.
Рисунок 6 - График оценки спектральной плотности (2.2) для окна вида 3 для центрированного случайного процесса.
Рисунок 7 - График оценки спектральной плотности (2.2) для окна Хэннинга.
Рисунок 8 - График оценки спектральной плотности (2.2) для окна Хэннинга для центрированного случайного процесса.
Рисунок 9 - График оценки спектральной плотности (2.2) для окна Хэмминга вида 5.
Рисунок 10 - График оценки спектральной плотности (2.2) для окна Хэмминга вида 5 для центрированного случайного процесса.
Рисунок 11 - График оценки спектральной плотности (2.2) для окна Хэмминга вида 6.
Рисунок 12 - График оценки спектральной плотности (2.2) для окна Хэмминга вида 6 для центрированного случайного процесса.
Рисунок 13 - График оценки спектральной плотности (2.2) для окна Хэмминга вида 7.
Рисунок 14 - График оценки спектральной плотности (2.2) для окна Хэмминга вида 7
для центрированного случайного процесса .
Рисунок 15 - График оценки спектральной плотности (2.2) для окна Рисса.
Рисунок 16 - График оценки спектральной плотности (2.2) для окна Рисса для центрированного случайного процесса.