Исследование математического ожидания состоятельной оценки взаимной спектральной плотности
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
дно, что спектральная плотность непрерывная, периодическая функция с периодом, равным по каждому из аргументов.
Семиинвариантной спектральной плотностью го порядка, , случайного процесса , , называется функция вида
=,
, при условии, что
.
Теорема 1.1. Для смешанного семиинварианта го порядка, , случайного процесса справедливы представления
,
.
Пусть - случайный процесс, заданный на вероятностном пространстве , и
- мерная функция распределения, где
Случайный процесс называется стационарным в узком смысле (строго стационарным), если для любого натурального , любых и любого , такого что выполняется соотношение
где
Возьмем произвольное . Пусть , тогда
В дальнейшем функцию, в правой части (1), будем обозначать
Используя определение стационарного в узком смысле СП , смешанный момент го порядка, , будем обозначать
Смешанный семиинвариант го порядка, , стационарного в узком смысле СП будем обозначать
Случайный процесс , называется стационарным в широком смысле, если и
Замечание 1. Если , является стационарным в узком смысле СП и то , является стационарным в широком смысле, но не наоборот.
Спектральной плотностью стационарного случайного процесса , называется функция вида
, при условии, что
Семиинвариантной спектральной плотностью - го порядка, , стационарного СП , называется функция вида
при условии, что
Для смешанного семиинварианта -го порядка, , стационарного СП справедливо следующее соотношение
.
Для эти соотношения примут вид
.
2. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРВОГО МОМЕНТА СОСТОЯТЕЛЬНОЙ ОЦЕНКИ ВЗАИМНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ
Рассмотрим действительный стационарный случайный процесс , с , неизвестной ковариационной матрицей , неизвестной взаимной спектральной плотностью
Пусть - последовательных наблюдений, полученных через равные промежутки времени, за составляющей процесса .
Предполагаем, что число наблюдений представимо в виде , где - число пересекающихся интервалов, содержащих по наблюдений, а принимает целочисленные значения, .
Используя методику Бриллинджера Д. [2], в качестве оценки взаимной спектральной плотности исследована статистика вида
(2.1)
где , - спектральное окно, а , - оценка взаимной спектральной плотности процесса , построенная по методу Уэлча [6]
(2.2)
где
(2.3)
, , модифицированная периодограмма на -ом интервале разбиения, а задано выражением
(2.4)
, причем наблюдения сглаживаются одним и тем же окном просмотра данных
В работе [6] исследована оценка (2.2) для гауссовских процессов. В данной работе оценки (2.1), (2.2) исследованы для произвольных случайных процессов.
Предположение 1. Пусть окна просмотра данных ограничены единицей и имеют ограниченную постоянной вариацию.
Предположение 2. Пусть непрерывная, периодическая функция с периодом , имеет ограниченную вариацию и является ядром.
Теорема 2.1. Если взаимная спектральная плотность непрерывна в точке и ограничена на , окна просмотра данных удовлетворяют предположению 1, а спектральные окна предположению 2, то для оценки , заданной выражением (2.1), справедливо соотношение
(2.5)
Доказательство. Используя свойства математического ожидания и функции вида
(2.6)
где
запишем
Откуда, учитывая лемму Д5.1 работы [2], получим
Сделаем замену переменных тогда,
Сделаем замену переменных , получим
Известно, что свертка двух ядер является ядром, следовательно,
-
ядро. Тогда,
Так как взаимная спектральная плотность непрерывна в точке и ограничена на , а является ядром, получим требуемый результат. Теорема доказана.
Исследуем скорость сходимости первых двух моментов оценки , заданной (4), предполагая, что , удовлетворяет следующему условию:
(2.7)
для любых , С - некоторая положительная постоянная,
Лемма 2.1. Для ядра , заданного выражением (2.6), при любом
(2.8)
Доказательство. Запишем
где
Так как функция непрерывна на , следовательно, для любого существует что как только то поэтому
можно сделать сколь угодно малым за счет выбора . Значит,
Рассмотрим .
Аналогично можно доказать, что
Лемма доказана.
Лемма 2.2. Для функции , заданной выражением (2.6), справедливы соотношения
,(2.9)
для любого ,
,(2.10)
,(2.11)
где
.(2.12)
Доказательство. Подставляя в явном виде, получим
.
Используя соотношение (1.1) получим (2.9).
Докажем соотношение (2.10). Нетрудно видеть, что
.
Используя
,
получим
.
Аналогично можно показать, что
.
Откуда следует справедливость соотношения (2.10). Докажем (2.11). Используя неравенство Гельдера, получим
=.
Откуда, используя
~, (