Автокорреляционная функция. Примеры расчётов
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
Вид выборочной автокорреляционной функции тесно связан со структурой ряда.
- Автокорреляционная функция rk для белого шума, при k >0, также образует стационарный временной ряд со средним значением 0.
- Для стационарного ряда АКФ быстро убывает с ростом k. При наличии отчетливого тренда автокорреляционная функция приобретает характерный вид очень медленно спадающей кривой [3, 268].
- В случае выраженной сезонности в графике АКФ также присутствуют выбросы для запаздываний, кратных периоду сезонности, но эти выбросы могут быть завуалированы присутствием тренда или большой дисперсией случайной компоненты.
Рассмотрим примеры автокорреляционной функции:
- на рис. 1 представлен график АКФ, характеризующегося умеренным трендом и неясно выраженной сезонностью;
- рис. 2 демонстрирует АКФ ряда, характеризующегося феноменальной сезонной детерминантой;
- практически незатухающий график АКФ ряда (рис. 3) свидетельствует о наличии отчетливого тренда.
Рис 1.
Рис 2.
Рис 3.
В общем случае можно предполагать, что в рядах, состоящих из отклонений от тренда, автокорреляции нет. Например, на рис. 4 представлен график АКФ для остатков, полученных от сглаживания ряда, очень напоминающий процесс белого шума. Однако нередки случаи, когда остатки (случайная компонента h ) могут оказаться автокоррелированными, например, по следующим причинам [1, 172]:
- в детерминированных или стохастических моделях динамики не учтен существенный фактор
- в модели не учтено несколько несущественных факторов, взаимное влияние которых оказывается существенным вследствие совпадения фаз и направлений их изменения;
- выбран неправильный тип модели (нарушен принцип контринтуитивности);
- случайная компонента имеет специфическую структуру.
Рис 4.
Критерий Дарбина-Уотсона
Критерий Дарбина-Уотсона (Durbin, 1969) представляет собой распространенную статистику, предназначенную для тестирования наличия автокорреляции остатков первого порядка после сглаживания ряда или в регрессионных моделях.
Численное значение коэффициента равно
d = [(e(2)-e(1))2 + ... + (e(n)-e(n -1))2]/[e(1)2 + ... + e(n)2],
где e(t) - остатки.
Возможные значения критерия находятся в интервале от 0 до 4, причем табулированы его табличные пороговые значения для разных уровней значимости (Лизер, 1971).
Значение d близко к величине 2*(1 - r1), где r - выборочный коэффициент автокорреляции для остатков. Соответственно, идеальное значение статистики - 2 (автокорреляция отсутствует). Меньшие значения соответствуют положительной автокорреляции остатков, большие отрицательной [2, 193].
Например, после сглаживания ряда ряд остатков имеет критерий d = 1.912. Аналогичная статистика после сглаживания ряда - d = 1.638 - свидетельствует о некоторой автокоррелированности остатков.
Глава 2. Примеры практических расчетов с помощью макроса Excel Автокорреляционная функция
Все данные взяты с сайта
Пример 1. ВВП РФ
Приведем данные о ВВП РФ
ГодкварталВВПпервая разность2001I1900,9II2105,0204,1III2487,9382,9IV2449,8-38,12002I2259,5-190,3II2525,7266,2III3009,2483,5IV3023,113,92003I2850,7-172,4II3107,8257,1III3629,8522,0IV3655,025,22004I3516,8-138,2II3969,8453,0III4615,2645,4IV4946,4331,22005I4479,2-467,2II5172,9693,7III5871,7698,8IV6096,2224,52006I5661,8-434,4II6325,8664,0III7248,1922,3IV7545,4297,32007I6566,2-979,2II7647,51081,3
Исследуем ряд
На диаграммах показаны: исходный ряд (сверху) и автокорреляционная функция до лага 9 (снизу). На нижней диаграмме штриховой линией обозначен уровень белого шума - граница статистической значимости коэффициентов корреляции. Видно, что имеется сильная корреляция 1 и 2 порядка, соседних членов ряда, но и удаленных на 1 единицу времени друг от друга. Корреляционные коэффициенты значительно превышают уровень белого шума. По графику автокорреляции видим наличие четкого тренда.
Ниже даны значения автокорреляционной функции и уровня белого шума
АКФ(...)Ошибка АКФ10,8560,203-0,20320,7620,616-0,61630,6580,747-0,74740,5500,831-0,83150,4180,885-0,88560,3150,915-0,91570,2240,932-0,93280,1310,940-0,940
Если нас интересует внутренняя динамика ряда необходимо найти первую разность его членов, т.е. для каждого квартала найти изменение значения по сравнению с предыдущим кварталом. Для первой разности построим автокорреляционную функцию.
Статистика Дарбина-Ватсона (DW) =1,813DW Up= 1,450DW Low=1,290
Статистика Дарбина-Уотсона показывает, что автокорреляции 1-го порядка нет. По графику можно видеть, что первые разности возрастают, т.к. тренд восходящий. Видна автокорреляция 2 и 4-го порядков, что говорит о полугодовой и годовой сезонности. Значения функции и границы для белого шума представлены ниже
АКФ(...)Ошибка АКФ1-0,2030,392-0,3922-0,5300,416-0,4163-0,0030,513-0,51340,6370,513-0,5135-0,0870,627-0,6276-0,4230,629-0,6297-0,0280,673-0,673
Пример 2. Импорт
Дано
годкварталномерзначениеразность1999I13,10II23,400,30III33,33-0,07IV43,800,472000I53,20-0,60II63,600,40III73,700,10IV84,330,632001I93,60-0,73II104,430,83III114,30-0,13IV125,170,872002I134,13-1,03II144,770,63III155,200,43IV165,970,772003I175,10-0,87II185,900,80III196,330,43IV207,230,902004I216,43-0,80II227,701,27III238,170,47IV249,080,922005I258,17-0,92II269,801,63III2710,500,70IV2812,471,972006I2910,40-2,07II3012,672,27III3114,201,53IV3217,102,90
Построим автокорреляционную функцию
АКФ(...)Ошибка АКФ10,8020,211-0,21120,6930,535-0,53530,5850,637-0,63740,5660,701-0,70150,4230,756-0,75660,3430,785-0,78570,2550,803-0,80380,2310,813-0,81390,1310,822-0,822100,0720,824-0,824
Видим, что есть автокорреляция 1-го и 2-го порядков. График показывает наличие тренда. Положительная автокорреляция объясняется неправильно выбранной спецификацией, т.к. лин