Иррациональное число
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
ли свои теории при помощи бесконечных рядов, в то время как Дедекинд работал с (ныне так называемым) Дедекиндовым сечением множества вещественных чисел, разделяя все рациональные числа на два множества с определёнными характеристическими свойствами.
Цепные дроби также внёс значительный вклад в развитие теории цепных дробей.
В 1761 году Ламберт показал, что ? не может быть рационально, а также что en иррационально при любом ненулевом рациональном n. Хотя доказательство Ламберта можно назвать незавершённым, принято считать его достаточно строгим, особенно учитывая время его написания. Лежандр в 1794 году, после введения функции Бесселя-Клиффорда, показал, что ? иррационально, откуда иррациональность ? следует тривиально (рациональное число в квадрате дало бы рациональное). Существование трансцендентных чисел было доказано Лиувиллем .
Свойства
Всякое вещественное число , при этом иррациональные числа и только они записываются непериодическими бесконечными десятичными дробями.
Иррациональные числа определяют Дедекиндовы сечения в множестве рациональных чисел, у которых в нижнем классе нет наибольшего, а в верхнем нет наименьшего числа.
Каждое трансцендентное число является иррациональным.
Каждое иррациональное число является либо алгебраическим , либо трансцендентным.
Множество иррациональных чисел всюду плотно на числовой прямой: между любыми двумя числами имеется иррациональное число.
Множество иррациональных чисел несчётно .
Теоремы
Корень из 2 - иррациональное число
Допустим противное: рационален . Возведём предполагаемое равенство в квадрат:
иррациональный трансцендентный число теорема
.
Отсюда следует, что m2 чётно, значит, чётно и m. Пускай m = 2r, где r целое. Тогда
Следовательно, n2 чётно, значит, чётно и n. Мы получили, что m и n чётны, что противоречит несократимости дроби . Значит, исходное предположение было неверным, и - иррациональное число.23 - иррациональное число
Допустим противное: log 23 рационален 0, m и n могут быть выбраны положительными. Тогда
Но 2m чётно, а 3n нечётно. Получаем противоречие.- иррациональное число
Другие иррациональные числа
Иррациональные числа ж(3) - <http://ru.wikipedia.