Евклідова і неевклідова геометрії
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
?ься трикутником, крапки А, У и С - вершинами трикутника, а відрізки АВ, ВР і АС - сторонами трикутника.
Теорема 9. Нехай АВС трикутник у площині ? і а - пряма в цій площині, не минаюча ні через одну із крапок А, В, С. Тоді якщо ця пряма перетинає сторону АВ, те вона перетинає й притім тільки одну із двох інших сторін ВР або АС.
Не можна не помітити, що остання наведена теорема майже аналогічна аксіомі Паша, що входить у систему Гильберта (див. сторінку 9), і відрізняється від її тільки тим, що в аксіомі не затверджується одиничність другої пересічної сторони трикутника.
III. Аксіоми руху
У даній системі група аксіом конгруентності замінена цією групою аксіом. Втім, треті групи аксіом обох систем в остаточному підсумку виконують ту саму задачу, визначаючи різними способами ті самі явища (група аксіом конгруентності в Гильберта визначає відносини конгруентності прямо, аксіоми руху - через свої наслідки).
Отже, будемо вимагати, щоб існували такі відбиття крапок, прямих і площин на крапки, прямі й площини, іменовані рухами, що задовольняють наступним аксіомам.
III, 1. Кожний рух Н зберігає відношення приналежності.
Тобто, якщо крапка А належить прямій а (площини ?), те її образ при русі Н (позначуваний НА) належить образу прямої На (відповідно образу площини Н?).
III, 2. Кожний рух Н зберігає відношення порядку на прямій.
Це означає, як, напевно, уже догадався читач, що кожному із двох напрямків на прямій а можна зіставити такий напрямок на прямій На, що щораз, коли для крапок X і Y прямій а має місце X < Y, для відповідних їм крапок прямої На має місце HX < HY.
Із цих двох аксіом треба, що кожний рух переводить напівпряму в напівпряму, напівплощина в напівплощину.
III, 3. Руху утворять групу.
Це значить:
а) Зіставлення Н0 кожному елементу х (крапці, прямій, площини) його самого є рух. Цей рух називається тотожним.
б) Якщо рух Н1 зіставляє довільному елементу х елемент y, а рух Н2 зіставляє y елемент z, те зіставлення елементу х елемента z є рух. Воно позначається Н2Н1 і називається добутком рухів.
в) Для кожного руху Н існує рух Н-1 таке, що Н-1Н=Н0. Рух Н-1 будемо називати зворотним.
III, 4. Якщо при русі Н пряма h, як ціле, і її початкова крапка А залишаються нерухливими, то всі крапки напівпрямій h залишаються нерухливими.
III, 5. Для кожної пари крапок А и В існує рух Н, котре переставляє їх місцями: НА=В, НВ=А
III, 6. Для кожної пари променів h, k (напівпрямих), що виходять із однієї крапки, існує рух Н, їх що переставляє: Нh=k, Hk=h.
III, 7. Нехай ? і ? будь-які площини, а й b прямі в цих площинах, А и В крапки на прямих а й b. Тоді існує рух, що переводить крапку А в У, задану напівпряму прямій а, обумовлену крапкою А, - у задану напівпряму прямій b, обумовлену крапкою В, задану напівплощину площини ?, обумовлену прямій а, у задану напівплощину площини ?, обумовлену прямій b.
Теорема 10. Нехай ? площина, і а приналежна їй пряма. Тоді якщо рух Н переводить кожну з напівплощин площини ?, обумовлених прямій а, у себе й залишає нерухливими крапки прямій а, те воно є тотожним.
Дійсно, тотожний рух Н0 має зазначеними в теоремі властивостями Н, а отже, по аксіомі III, 7 збігається з ним.
Визначимо тепер поняття конгруентності. Фігуру F1 ми будемо називати конгруентній фігурі F2, якщо існує рух Н, що переводить F1 в F2: HF1=F2. Із групових властивостей руху (аксіома III, 3) випливають наступні властивості відносини конгруентності:
Кожна фігура F конгруентна сама собі.
Дійсно, тотожний рух Н0 переводить F в F.
Якщо фігура F1 конгруентна F2, то фігура F2 конгруентна F1.
Справді, якщо Н рух, що переводить фігуру F1 в F2, то рух Н-1 переводить фігуру F2 у фігуру F1.
Якщо фігура F1 конгруентна F2, а фігура F2 конгруентна фігурі F3, то фігура F1 конгруентна F3.
Дійсно, якщо Н рух, що переводить фігуру F1 в F2, а Н рух, що переводить фігуру F2 в F3, то рух НН переводить F1 в F3.
Уперше подібну систему запропонував через десять після появи гильбертовой аксіоматики Фрідріх Шур.
Через ще десять років німецький математик Герман Вейль (Weyl; 9.11.1885, Ельмсхорн, Шлезвиг-Гольштейн, 8.12.1955, Цюріх) створив векторну аксіоматику геометрії. У Вейля первісними є поняття крапка і вектор, а пряма й відрізок визначаються з їхньою допомогою. Є аксіоми додавання векторів (означаючі, що вектори утворять комутативну групу), аксіоми множення вектора на дійсне число, аксіоми відкладання векторів (зокрема, аксіома трикутника: ), аксіоми скалярного добутку векторів і аксіома розмірності (для планіметрії в ній затверджується: якщо дані три ненульових вектори , і , те який-небудь із них виражається у вигляді комбінації двох інших: ). При заданих крапці А и ненульовому векторі пряма (А, ) визначається як множина всіх крапок М, для яких вектор пропорційний , тобто найдеться таке дійсне число t, що . Далі визначаються відрізки, кути, багатокутники, окружність і інші фігури: наприклад, відстань між А и В як квадратний корінь зі скалярного квадрата вект?/p>