Евклідова і неевклідова геометрії
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
?рія.
Щоб підкреслити наявність іншої метрики й не плутати нові відстані й величини кутів зі старими, умовимося називати координатну площину (x1, x2) формулами (3.3), (3.4) псевдоевклідовою площиною.
б) Для більшої аналогії з евклідовою геометрією доцільно ввести новий скалярний добуток векторів як добуток їхніх довжин на косинус кута між ними. Ясно, що цей добуток векторів відрізняється від звичайного скалярного добутку тих же векторів, тому що довжини векторів (відстань між початкової його й кінцевої крапками) і косинус кута розуміється в змісті псевдоевклідової геометрії.
Не будемо далі перераховувати наслідків з формул (3.3), (3.4) і дамо аксіоматичне визначення псевдоевклідової геометрії. Робиться це в такий спосіб.
Замість аксіоми IV, 3 вейлевської аксіоматики, у якій говориться про те, що скалярний квадрат вектора ненегативний, уводиться інша аксіома IV, 3 про існування ненульових векторів першого, другого, і третього типів, скалярні квадрати яких відповідно позитивні, негативні й дорівнюють нулю.
Всі інші аксіоми Вейля зберігаються без зміни в псевдоевклідової геометрії. Звичайно, припускаємо, що аксіоми розмірності III відповідним чином погоджені. Якщо мова йде про площину, то в аксіомі III, 1 затверджується існування двох лінійно незалежних векторів, а в аксіомі III, 2 затверджується, що всякі три вектори лінійно залежні.
Сукупність крапок називається псевдоевклідовою площиною, якщо ці крапки і їхні впорядковані пари (вільні вектори) задовольняють аксіомам груп /--///, IV, 1, 2, 3, V. Очевидно, вектори псевдоевклідової площини задовольняють аксіомам /--///- IV - 1, 2, 3 і утворять двомірний псевдоевклідовий векторний простір.
У псевдоевклідової геометрії афінна частина повністю збігається з афінної частиною евклідової геометрії. Але в метричних питаннях геометрії ці значно відрізняються друг від друга, метрика простору по суті визначається аксіомами скалярного добутку векторів і серед них важливу роль грає саме аксіома IV, 3.
в) Скалярний добуток двох векторів , у змісті псевдоевклідової геометрії будемо позначати символом П. Вектори , називаються перпендикулярними, якщо їхній скалярний добуток дорівнює нулю.
Як і раніше число П називається скалярним квадратом вектора ; корінь квадратний з П якого називається довжиною вектора й позначається через | |.Таким чином,
,
Ясно, що довжина вектора буде позитивної, чисто мнимий або нульовий, якщо відповідно скалярний квадрат П >0, П <0 або П =0. Вектори позитивної й чисто мнимої довжини називають також відповідно просторовими й тимчасовими.
Ненульові вектори, довжини яких дорівнюють нулю, називаються ізотропними.
Уведемо поняття прямокутної декартовой системи координат. Прямокутної декартовой системою координат або просто прямокутною системою координат псевдоевклідової площини називається така афінна система координат, вектори якої одиничні або взаємно перпендикулярні.
Отже, один з координатних векторів псевдоевклідової площини, наприклад, буде одиничним, а іншої мнимо одиничним Таким чином, скалярний добуток координатних векторів прямокутної системи координат визначаються рівностями
. (3.5)
Очевидно, скалярний добуток двох векторів
і квадрат довжини вектора в прямокутній системі координат обчислюються по формулах виду
(3.6)
(3.7)
За відстань між двома крапками M(х1, х2) і N(y1, y2) визначенню приймається довжина вектора :
d(M,N)2=(y1 - x1) - (y2 - x2)2.
Величиною кута між векторами й називається число, певне по формулі
(3.8)
У правій частині (3.8) чисельник позитивний, а знаменник при неізотропних векторах , може бути позитивним і негативним.
Якщо вектори , однієї природи, тобто обидва множники в знаменнику одночасно просторові або тимчасові, те, якщо ж один з векторів просторовий, а інший тимчасовий, то .
Неважко далі довести, що чисельник в (3.8) не менше знаменника. Дійсно, якщо координати векторів і будуть відповідно (х1, х2) і (в1, в2) у деякій прямокутній системі координат, те
.
Отже, якщо вектори , одночасно будуть просторовими або тимчасовими, те
. (3.9)
Думаючи в цьому випадку , одержимо
. (3.10)
У псевдоевклідової площини існує три типи прямих залежно від природи її напрямного вектора, якщо напрямний вектор буде просторова, тимчасова або ізотропним, те пряма називається відповідно до просторової, тимчасовий або ізотропної.
г) Перейдемо тепер до визначення поняття окружності.
Окружністю в псевдоевклідової площини називається множина її крапок, що відстоять від даної крапки, називаної центром на те саме відстань r; величина r називається радіусом окружності. Вибираючи прямокутну систему координат з початком у центрі окружності, переконаємося, що координати поточної крапки (х1, х2) даної окружності задовольняють рівнянню
.
У цій геометрії існує три типи окружностей - окружності речовинного, чисто мнимого й нульового радіусів. На мал. 13 окружності нульового радіуса зображуються з погляду евкл?/p>