Дослідження методів чисельного інтегрування
Курсовой проект - Компьютеры, программирование
Другие курсовые по предмету Компьютеры, программирование
Міністерство освіти і науки України
Вінницький національний технічний університет
Інститут автоматики, електроніки та компютерних
систем управління
Факультет АКСУ
Кафедра АІВТ
Курсова робота
з дисципліни
Обчислювальні методи та застосування ЕОМ
Дослідження методів чисельного інтегрування
2006
Анотація
В даній курсовій роботі розроблена програма для обчислення визначеного інтегралу методом Чебишева третього четвертого та пятого порядків.
Програма дозволяє отримати розвязання інтегралу зазначеним методом, оцінити похибки та порівнювати їх з точним обчисленнями отриманими в математичному пакеті Mathcad 2001 Professional.
1. Теоретичні відомості
У курсовій роботі проведено дослідження методів чисельного інтегрування. Адже, у задачах, повязаних з аналізом, ідентифікацією, оцінкою якості, моделюванням різноманітних пристроїв автоматики, керування, інформаційно-вимірювальної техніки, радіоелектроніки, виникає необхідність обчислення визначених інтегралів.
В основу чисельного інтегрування покладено наближене обчислення площини під кривою, яка описується підінтегральною функцією інтеграла:
Загальний підхід до розвязування цієї задачі такий: визначений інтеграл I являє собою площину, обмежену кривою f(х), віссю Х та прямими Х = a, Х =b, відрізок від a до b розбивають на множину менших відрізків, знаходять наближено площу кожної площини Si, яку отримують за таким розбиванням, значення інтеграла І знаходять як суму площ площин Sі, тобто I = Si. При цьому використовують два способи розбивання початкового відрізка на менші
1.Розбивання відрізка проводиться раніше, до того ж завжди відрізок вибирають рівним (метод прямокутників, трапецій, Сімпсона).
2.Місцезнаходження та довжина відрізків визначаються аналізом, до того ж спочатку ставиться за мету досягти найбільшої точності з заданим числом відрізків, а потім відповідно з цим визначають їхні межі (методи Гаусса, Ньютона - Котеса, Чебишева) [1].
1.1 Метод прямокутників
Найпростішим методом наближеного обчислення інтеграла є метод прямокутників, геометрична інтерпретація якого зводиться до знаходження визначеного інтеграла як суми площ N прямокутників (з висотою f(x) та основою h=xi=xi+1-xi), отриманих розділень відрізка[a,b] на N рівних частин, до того ж якщо розділити на прямокутники зліва на право, то отримаємо формулу лівих прямокутників:
In=f(x)dxSi=h[f(x0)+f(x1)+...+f(xn-1)]=f(xi);(1.1)
якщо ж розділити на N прямокутників справа на ліво, то отримаємо формулу правих прямокутників:
Iпр=f(x)dxh[f(xn)+...+f(x1)]=f(xi)(1.2)
1.2 Метод трапецій
Суть методу трапеції, полягає в тому, що інтеграл обчислюється по-іншому, відрізок інтегрування поділяється на N рівних відрізків, всередині яких підінтегральна крива f(x) замінюється кусково- лінійною функцією (x), отриманою стягуванням ординат N відрізків хордами.
Обчислення визначеного інтеграла зводиться до знаходження сум площ Si прямокутних трапецій N.
Площа кожної такої трапеції визначається як:
Si=h(f(xi)+f(xi+1)).(1.3)
Отже, формула трапеції:
I=Si=h(f(x0)+f(x1)+f(x2)+...+f(xn-1)+f(xN)= =[(f(x0)+f(xn))+f(xi)].(1.4)
Графічна модель
Похибка обчислення інтеграла за формулою трапецій оцінюється як
(1.5)
Де М2 максимальне значення другої похідної. f(x) при ,h-крок обчислень.
1.3 Метод Сімпсона (метод парабол або метод криволінійних трапецій)
Цей метод також використано у курсовій роботі, близький до методу трапецій у тій частині, що інтегрування проводиться шляхом поділу відрізка інтегрування [а, b] на множину відрізків (N пар відрізків). Однак, з метою збільшення точності наближеного інтегрування на кожному відрізку [Xi, Xi+2] підінтегральної функції f(x) замінюють квадратичною параболою (x), обчислення визначеного інтеграла зводиться до обчислення суми N криволінійних трапецій Si: I= f(x)dxSi [1].
Графічна модель.
Площа кожної такої трапеції визначається за формулою Сімпсона:
Si= [f(xi)+4f(xi+1)+f(xi+2)], (1.6), тобто
(y0+4y1+y2),
(y2+4y3+y4),
(y4+4y5+y6), (1.7)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(y2n-2+4y2n-1+y2n),
Тоді чисельне значення визначеного інтеграла на відрізку [a,b] дорівнюватиме сумі інтегралів, тобто
[y0+y2n+4(y1+...+y2n-1)+2(y2+...+y2n-2)],
або
[y0+y2n+4y2i-1+2y2i],(1.8)
де h =(b-a)/2N.
Похибка обчислення інтеграла за формулою Сімпсона оцінюється як
де М4 максимальне значення четвертої похідної. f(x) при , h-крок обчислень.
1.4 Метод Ньютона-Котеса
Цей метод засновано на апроксимації однієї із сторін криволінійної трапеції, яка отримується поділом відрізка [a,b] на N рівних частин, многочленами вищих порядків, також як у методі трапецій використовується лінійна апроксимація (заміна однієї із сторін трапеції прямою лінією), а в методі Сімпсона - апроксимація параболою.
Основна формула методу:
yiHi,(1.9)
де Hi - коефіцієнти Ньютона - Котеса. Ці коефіцієнти не залежать від вигляду f(x), а є функцією тільки N (кількість вузлів інтерполяцїї). Таким чином, коефіцієнти Ньютона -