Дослідження методів чисельного інтегрування
Курсовой проект - Компьютеры, программирование
Другие курсовые по предмету Компьютеры, программирование
Котеса можна обчислити раніше для різного числа вузлів інтерполяції .
Легко можна показати, що методи трапецій та Сімпсона є частинними випадками методу Ньютона - Котеса.
1.5 Метод Чебишева
Метод Чебишева використано в курсовій грунтується на обчисленні інтеграла за значеннями функції yi =f(xi),(i=1,2,...,N) у зафіксованих вузлах інтерполяції x1,x2,...,xN (де h=const). Коефіцієнти Ньютона -Котеса Нi (i=1,N) не залежать від значень функції у вузлах інтерполяції. П.Л.Чебишев запропонував для обчислення визначених інтегралів використати формулу:
cif(xi),(1.10)
в якій квадратурні коефіцієнти сi (i = 1,2, ...,N) зафіксовані, а абсциси xi (i=1,2,...,N)підлягаютьвизначенню.
Таблиця 1.1.
Коефіцієнти Ньютона - Котеса
n = 1Но = H1 = n = 2Но = Н2 = 1/6, Н1 = 2/3n = 3Н0 = Н3 = 1/8, Н1 = H2 = 3/8n = 4Но = Н4 = 7/90, Н1 = Нз = 16/45, Н2 = 2/15n = 5Н0 = Н5 =19/288, Н1 = Н4 = 25/96, Н2 = Нз =
= 25/144n = 6Но = Н6 = 41/840, Н1 = Н5 = 9/35, Н2 = Н4 = =9/280, Нз = 34/105n = 7Но = Н7 = 75І/17280, Н1 = Н6 = 3577/1728О, Н2 = Н5 =1323/1728О, Нз = Н4 = 2989/17280
Для простоти обчислень необхідно вибрати С1=...=Сn. Розглядаємо спочатку частинний випадок, коли межі інтегрування дорівнюють -1 та 1. Тоді формула Чебишева набере вигляду:
2Cn[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)],(1.11)
де квадратурні коефіцієнти Сn та абсциси xi підлягають визначенню.
Коефіцієнти та вузли інтерполяції xi визначимо із умови, що ця рівність є точною для випадку, коли f(х) многочлен вигляду:
f(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn.(1.12)
Підставимо многочлен у ліву частину попередньої формули та про- інтегруємо:
(a0+a1x+a2x2+...+anxn)=2(a0+a2+a3+...).(1.13)
У праву частину рівності (1. 11) підставимо значення многочлена (1.І2) у вузлах x1,x2,...,xn:
f(x1)=a0+a1x1+a2x12+a3x13+...+anx1n,
f(x2)=a0+a1x2+a2x22+a3x23+...+anx2n,
f(x3)=a0+a1x3+a2x32+a3x33+...+anx3n,(1.14)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f(xn)=a0+a1xn+a2xn2+a3xn3+...+anxnn,
Тоді рівність (1.ІЗ) набере вигляду:
2(a0+a2+a4+...)=2cn[na0+a1(x1+x2+...+xn)+a2(x12+x22+...+xn2)+
+a3(x13+x23+...+xn3)+...+an(x1n+x2n+...+xnn)].(1.15)
Отримана рівність повинна виконуватися за будь-яких значень a0,a1,...,an; таким чином, порівнюючи коефіцієнти аi в правій та лівій частинах (1.І5) знаходимо, що nсn = 1, звідки
Cn=.(1.16)
і, крім цього,
x1+x2+x3+...+xn=0,
x12+x22+x32+...+xn2=,
x13+x23+x33+...+xn3=0,(1.17)
x14+x24+x34+...+xn4=,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x1n+x2n+x3n+...+xnn=[1-(-1)n+1],
Підставляючи знайдене для Сn виразу в співвідношені 1.13 отримаємо формулу Чебишева:
[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)],(1.18)
де точки x1,...,хn визначаються із системи рівнянь (1.17).
Значення x1,...,хn для різних n обчислюються раніше та зводять в табл. 1.2.
Коли межі даного інтеграла відрізняються від -1 та 1, формула Чебишева матиме вигляд:
[f(z1)+f(z2)+...+f(zn)],(1.19)
де
Таблиця 1.2.
Число
ординатЗначення абсцисn = 2
n = 3
n = 4
n = 5
n = 6
n = 7-x1 = x2 = 0.577350
-x1 = x3 = 0.707107; x2 = 0
-x1 = x4 = 0.794654; -x2 = x3 = 0.187592
-x1 = x5 = 0.832498; -x2 = x4 = 0.374541; х3 = 0
-x1 = x6 = 0.866247; -x2 = x5 = 0.4225І9; -x3 = x4 = 0.266635
-x1 = x7 = 0.883862; -x2 = x6 = 0.529657; -x3= = x5 = 0.323912; x4 = 0
Zi=+xi, (i=1,2,...,n),(1.20)
а xi мають вкaзані в таблиці значення.
Похибка обчислень за методом Чебишева знаходиться за формулою:
2. Розробка та опис логічної частини програми
Програма складається з двох блоків. Це інтерфейний модуль, що забезпечує користувача змогою спілкуватися з компютером за допомогою клавіатури, та сама програма, що здійснює всі обчислювальні операції.
При запуску спершу ініціюється графіка та створюється меню і ініціюються змінні. Потім іде блок зчитування з клавіатури. Він аналізує введену користувачем інформацію і згідно з нею виконує певні дії. При натисканні на клавіші управління курсором відбувається переміщення по меню. При натисканні на клавішу Enter відбувається аналіз кнопки, яка була обрана на даний момент, і згідно з цим виконання певних дій. Це можуть бути такі операції:
- обчислення інтегралу методом Чебишева 3-го порядку: виконується алгоритм, який детально пояснено в додатку Б.
- обчислення інтегралу методом Чебишева 4-го порядку.
- обчислення інтегралу методом Чебишева 5-го порядку
- Задається крок обчислення h=0.1;
- Задається крок обчислення h=0.2;
- Задається крок обчислення h=0.5;
- Про автора довідка про автора програми;
- Вихід з програми здійснюється вихід з програмного середовища ТР;
Робота даної програми починається з підключення стандартного модуля введення-виведення crt та модуля graph для ініціалізації графіки, оскільки програма виконана в графічному режимі. Далі задаються константи інтегрування.
Тип TMenuItems масив пунктів меню. Далі задаємо підінтегральну функцію. Процедура InitGraphMode процедура для ініціалізації графіки, VGA - тип графічного драйверу, VGAHi тип графічного режиму.
- DrawCursor(x,y:integer) процедура для малювання курсору;
- HideCursor(x,y:integer) процедура, що автоматично забирає курсор з екрану;
- Function WaitWhileKeypressed(var FKey:boolean):char функція, що очікує нажатої клавіші, цикл повторюється до тих пір, доки не буде зчитано код нажатої клавіші;
- Procedure menu(x,y:integer;…var poin:integer) дана процедура власне виводить на екран графічне меню та надає змогу користувачеві здійснити вибір пункту меню за допомогою графічного курсору.
3. Функціональне призначення програми
Програма призначена для обчислення визначеного інтегралу I=, методом Чебишева третього, четвертого та пятого порядків, також дає змогу зменшити похибку обчислень за рахунок зменшення кроку інтегрування.
Програма має гарний інтерфейс користувача з меню, що керується з клавіатури. Рез?/p>