Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма
Сочинение - Математика и статистика
Другие сочинения по предмету Математика и статистика
p>
На основании Выводов о Великой теореме Ферма (стр.34, стр.49) получаем окончательный вывод.
Окончательный Вывод: Великая теорема Ферма доказана.
********
Утверждение 3
Часть 1
Уравнение ( ? 3 нечетное натуральное, q = 4 = 2m, где m = 2) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.
Часть 2
Возможны случаи: либо b = 1, либо c = 1.
*********
Часть первая (Утверждения 3)
Уравнение ( ? 3 нечетное натуральное, q = 4 = 2m, где m = 2) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.
Доказательство
Первая часть доказательства Утверждения 3 аналогична Части первой доказательства Утверждения 2.
Итак, имеем уравнение (1), где ? 3 нечетное натуральное, числа a, b, c (если, конечно, они существуют) попарно взаимно простые целые числа (это наше допущение вопреки Утверждению 3), среди которых только одно четное число a.
Из уравнения (1) следует:
=> (2).
Пусть (3), где и ? - целые числа, отличные от нуля и c2 + b2 = 2 ? (4), где ? нечетное число при с и b нечетных.
******
Примечание
То, что ? в уравнении (4) нечетное число, хорошо известный факт в теории чисел, который мы ранее уже учитывали (Примечание, стр. 35).
Представим нечетные числа b и c в виде:
b = 2n1 + 1; c = 2n2 + 1, где n1 и n2 - произвольные целые числа. Тогда
b2 + c2 = (2n1 + 1)2 + (2n2 + 1)2 = 2 [2 (n12+n22+n1+n2) + 1],
где в квадратных скобках нечетное число, что и требовалось доказать
*******
Тогда из уравнения (2) следует (с учетом (3) и (4)):
= , где c2 + b2 ? 0, т.к. c ? 0, b ? 0, т.е.
(5),
где k целое число, отличное от нуля, т.к. c и b взаимно простые целые числа.
Из соотношений (4) и (5) определяем b2 и c2:
=> =>
Откуда ? = b2 + 2l-2k (8) - нечетное число (из (4)) при b нечетном и 2l-2k - четном, т.к. ? 3 нечетное натуральное число.
Вывод:
1. Из соотношения (4) имеем:
(9) - нечетное число.
2. Из соотношения (5) имеем:
(10) пропорционально 2 (явно), т.е. - четное число.
Это дополнительная информация о свойствах предполагаемых взаимно простых числах , которая в дальнейшем нам очень пригодится.
*******
Теперь попробуем выразить сумму четвертых степеней чисел c и . Учитывая соотношения (6) и (7), получим:
,
т.е. (11),
где - целые числа, которые, в свою очередь, как мы знаем из предыдущего доказательства Утверждения 1 (для ), могут быть выражены через другие целые числа следующим образом:
(12) - нечетное число при - нечетном;
(13) - нечетное число при - нечетном;
(14) - нечетное число при - нечетном;
(15) - четное число.
Примечание: во всех последующих исследованиях (Случаях) нас не будут интересовать t =0 и r=0 (при t =0 и - четные из (12) и (13), при r=0 = 0 (из (15)) => а = 0 (из (3)), что противоречит нашему допущению).
Для простоты опять (как в утверждениях 1 и 2) обозначим правые части уравнений (12), …, (15) буквами С, В, N, К, т.е.
= С
= В
= N
= К ,
и рассмотрим случай, когда в правых частях уравнений (12), …, (15) перед С, В, N, К, стоят плюсы и выполняется Условие1.
Условие1 (начало).
с2 = С
b2 = B
= N
Случай +.
(12+) - нечетное число при - нечетном;
(13+) - нечетное число при - нечетном;
(14+) - нечетное число при - нечетном;
(15+) - четное число.
Казалось бы, все нормально: четность чисел в (12+), …, (15+) совпадают при -нечетном с нашими предыдущими рассуждениями.
Однако не все так просто.
Помимо всего прочего, у нас есть еще две дополнительные информации (9) и (10) (о четности, заключенной в Выводе (стр.36)), вытекающие из предположения о том, что, вопреки условию Утверждения 2, допустим, существуют попарно взаимно простые целые числа .
Попробуем найти сумму , воспользовавшись их выражениями (12+) и (13+):
,
т.е. => () пропорционально 4, откуда следует, учитывая (9) в Выводе (стр.36),
!
Т.е., вопреки Выводу, является не нечетным, а четным числом, что возможно (из (14)) при -чет