Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма
Сочинение - Математика и статистика
Другие сочинения по предмету Математика и статистика
>k целое число, отличное от нуля, т.к. c и b взаимно простые целые числа (при целое число k - четное число, т.к. пропорционально 4 (явно) при b и с нечетных числа => 2l-2k четное число при).
Из соотношений (4) и (5) определяем b2 и c2:
=> =>
Откуда ? = b2 + 2l-2k (8) - нечетное число (из (4)) при b нечетном и 2l-2k - четном.
*********
Вывод:
- Из соотношения (4) имеем:
(9) - нечетное число.
- Из соотношения (5) имеем:
(10) пропорционально 2 (явно), т.е. - четное число.
Это дополнительная информация о свойствах предполагаемых взаимно простых числах , которая в дальнейшем нам очень пригодится.
*******
Теперь попробуем выразить сумму четвертых степеней чисел c и . Учитывая соотношения (6) и (7), получим:
,
т.е. (11),
где - целые числа, которые, в свою очередь, как мы знаем из предыдущего доказательства Утверждения 1 (для ), могут быть выражены через другие целые числа следующим образом:
(12) - нечетное число при - нечетном;
(13) - нечетное число при - нечетном;
(14) - нечетное число при - нечетном;
(15) - четное число.
Примечание: во всех последующих исследованиях (Случаях) нас не будут интересовать t =0 и r=0 (при t =0 и - четные из (12) и (13), при r=0 = 0 (из (15)) => а = 0 (из (3)), что противоречит нашему допущению). .
*******
Для простоты опять обозначим правые части уравнений (12), …, (15) буквами С, В, N, К, т.е.
= С
= В
= N
= К,
и рассмотрим случай, когда в правых частях уравнений (12), …, (15) перед С, В, N, К, стоят плюсы и выполняется Условие1.
********
Условие1 (начало)
с2 = С
b2 = B
= N
Случай +.
(12+) - нечетное число при - нечетном;
(13+) - нечетное число при - нечетном;
(14+) - нечетное число при - нечетном;
(15+) - четное число.
Казалось бы, все нормально: четность чисел в (12+),…, (15+) совпадают при - нечетном с нашими предыдущими рассуждениями.
Однако не все так просто.
Помимо всего прочего, у нас есть еще две дополнительные информации (9) и (10) (о четности, заключенной в Выводе (стр.36)), вытекающие из предположения о том, что, вопреки условию Утверждения 2, допустим, существуют попарно взаимно простые целые числа .
Попробуем найти сумму , воспользовавшись их выражениями (12+) и (13+):
,
т.е. => () пропорционально 4, откуда следует, учитывая (9) в Выводе (стр.36),
!
Т.е., вопреки Выводу, является не нечетным, а четным числом, что возможно (из (14)) при - четном.
Однако, если - четное, то (в (12+) и (13+)) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа - четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами.
Мы пришли к противоречию в Случае + с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
********
Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 1 (начало) не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах, где - четное натуральное число.
********
Мы рассмотрели случай, когда перед скобками в (12+), …, (15+) стояли плюсы.
Случай, когда перед теми же скобками стоят минусы (Случай -), аналогичен вышерассмотренному. Вывод тот же. (Смотри Случай - на стр.8.)
********
Примечание
Осталось рассмотреть еще 14 случаев, когда перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы). Но об этом - во 2-ой части данного Утверждения 2.
********
Т.к. уравнение (11) симметрично для с2 и b2, (для уравнения (11) они равнозначны), то с2 и b2 могут меняться своими выражениями (C и В). Это свойство назовем новым свойством . Поэтому аналогичны вышерассмотренному и случаи (Новые случаи + и -), когда опять перед теми же В, С, N и К стоят одинаковые знаки.
Условие 2 (начало)
с2 = В
b2 = С
= N
Новые случаи + и -.
(12) c2 = В
(13) b2=С
(14) = N
(15) =К.
И в этом случае сумма пропорциональна 4, откуда следует, (учитывая (13) в Выводе (стр.36)), !
Т.е., вопреки Выводу, и в этих Новых случаях + и - является не нечетным, а четным числом, что возможно(из (14)) при -четном.
Однако, если - четное, то (в ((12) и ((13)) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа - четные, а потому не являются п