Динамические системы в плоской области
Курсовой проект - Математика и статистика
Другие курсовые по предмету Математика и статистика
°навливается, что каждому решению
х = (t), y = (t) (23)
системы (I) соответствует решение
х = (-t), y = (-t)(24)
системы (I). Отсюда очевидно, что системы (I) и (1) имеют одинаковые траектории, но индуцируют на траекториях противоположные направления. Таким образом, переход от системы (I) к системе (I) можно рассматривать, как изменение параметризации на траекториях, именно, как замену параметра t параметром t.
Рассмотрим более общий случай изменения параметризации на траекториях системы (1). Пусть f (х, у) функция класса C1 , заданная в области G. Предположим, что функция f(х, у) отлична от нуля во всех точках области G, отличных от состояний равновесия системы (1), и имеет в них один и тот же знак.
Рассмотрим наряду с системой (I) систему
(I*)
В силу предположений, сделанных относительно функции f(х, у), очевидно, что состояния равновесия системы (I) совпадают с состояниями равновесия системы (I*).
Лемма 8. Если
х = (t), y = (t)(25)
есть решение системы (I), причем соответствующая ему траектория отлична от состояния равновесия, то существует монотонная функция класса C1 (t) = (s) такая, что пара функций
(26)
является решением системы (I*).
Доказательство. Задавая какое-нибудь начальное значение t0, t0 (, Т), где (, Т) интервал определения решения (25), и произвольное s0, рассмотрим следующую функцию s(t)
Так как f(х, у) не обращается в нуль в точках, отличных от состояний равновесия, то s(t) является монотонной функцией класса С1 , определенной на интервале (, Т). Очевидно, существует обратная функция
(s), определенная в некотором интервале ( S), также класса С1 , монотонная. Очевидно,
Поэтому
(27)
Последние соотношения показывают, что функции (26) являются решением системы (I*). Нетрудно видеть, что ( S), является максимальным интервалом определения решения (26), так как в противном случае интервал (, Т) не был бы максимальным для решения (25). Лемма доказана.
Уравнения (25) и (26) являются, очевидно, различными параметрическими уравнениями одной и той же траектории. Поэтому из леммы 8 следует, что динамические системы (I) и (I*) имеют одни и те же траектории, но с различными параметризациями на них. При переходе от системы (I) к системе (I*) направления на траекториях остаются неизменными, если f(х, у) > 0, и меняются, если F(x,y)<0.
Предположим теперь, что функция f(х, у) может обращаться в нуль в точках, отличных от состояний равновесия системы (I), а также может менять знак в области G. Рассмотрим снова систему (I*). Очевидно, состояниями равновесия системы (I*) являются все состояния равновесия системы (I), а также все точки области G, которые не являются состояниями равновесия системы (1), но в которых f(х, у) = 0.
Кривая f(х, у) = 0 называется особой линией системы (I*) (каждая точка этой кривой является состоянием равновесия системы (I*)).
Рассмотрим теперь траекторию L системы (I), отличную от состояния равновесия. Если на траектории L функция f(х, у) 0, то так же, как и выше, L является траекторией системы (I*) с измененной, вообще говоря, параметризацией.
Если же на траектории L имеются точки кривой f(х, у) = 0, то все точки L, отличные от этих точек, распадаются, как легко видеть, на конечное или счетное число гладких кривых, являющихся траекториями системы (I*) (рис. 5). Направление на каждой такой траектории совпадает с направлением на L, если на этой траектории f(х, у) > 0, и не совпадает в противном случае.
Таким образом, каждая траектория системы (I) либо является траекторией системы (I*), либо состоит из конечного или бесконечного множества траекторий системы (I*) .
В дальнейшем, в ряде предложений и в примерах мы неоднократно будем встречаться с динамическими системами вида
()
где Р (х, у), Q (х, у) функции класса CN ( > 1) или аналитические, f(х, y) функция класса CN или аналитическая, которая может обращаться в нуль в области G (в которой рассматривается система). Очевидно, в точках, где (х, у) = 0, правые части рассматриваемой системы (I **) не определены. Однако при указанном виде правых частей можно путем замены параметра t привести рассмотрение системы (I**) к рассмотрению системы вида (I).
Действительно, полагая при х и у, необращающих в нуль f(х, у), dt =f(х, у) d, мы получаем систему
(I***)
Эту же систему мы будем рассматривать при х и у, обращающих в нуль функцию f(х, у) (что соответствует доопределению по непрерывности), так что система (I***) будет определена во всей области G. Очевидно, во всякой части области G, в которой f(х, у) не обращается в нуль, траектории системы (I**) и (I***) совпадают как точечные множества, однако, параметры на них различны. При этом там, где f(х, у) > 0, направление по совпадает с направлением по t, а там, где f(х, у) < 0 противоположно ему. Точки с координатами х и у, обращающими в нуль функцию f(х, у), в которых правые части системы (I**) не определены, естественно выделять и считать не принадлежащими траекториям системы (I**) (к таким точкам, как нетрудно убедиться на простых примерах, точка по траектории может стремиться при t, стремящемся к конечному значению).
8. Терминология и обозначения
В случае, когда решения, соответствующие данной траектории L, определены для всех значении t (), мы будем иногда, желая подчеркнуть это, называть такую траекторию L целой траекторией. В силу теоремы 2 всякая траектория, лежащая в ограниченйой части плоскости, у которой расстояние любой ее точки от границы области G б